Spezialableitungen

Kapiteleintrag

In diesem Kapitel lernen wir die Ableitungen von besonderen Funktionen kennen. Zum Teil läßt sich die jeweilige Ableitung zwar noch mit Hilfe der Potenzregel bestimmen, ich empfehle allerdings stärkstens, diese fünf Ableitungen einfach auswendig zu lernen.

Besondere Funktionen

\(f(x)=\sqrt{x}\)

\(f(x)=\frac1x\)

\(f(x)=\sin(x)\)

\(f(x)=e^x\)

\(f(x)=\ln(x)\)

Wurzelfunktion

\(f(x)=\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow{f}(x)=x^{\frac12}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=\frac12x^{-\frac12}\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=\frac12\frac{1}{x^{\frac12}}=\frac12\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Die Wurzelfunktion läßt sich mit Hilfe der normalen Potenzregel ableiten, denn \(\sqrt{x}\) ist nach Potenzgesetz \(x^{\frac12}\).

Das läßt sich nun wie gewohnt ableiten: \(\frac12\) wird zum Vorfaktor und der Exponent um einen verringert \((\frac12-1=-\frac12)\). Anschließend formen wir die Ableitung aber wieder zurück zur Wurzelfunktion. Beachte hier, dass negative Exponenten den Kehrwert verursachen \((x^{-a}=\frac{1}{x^a})\).

Rationale Funktion

\(f(x)=\frac1x\)

\(\Leftrightarrow{f}(x)=x^{-1}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=(-1)x^{-2}\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=-\frac{1}{x^2}\)

Die Funktion \(f(x)=\frac1x\) läßt sich fast analog ableiten, denn hier kann man die Funktion als \(x^{-1}\) umschreiben (hatten wir gerade: der nagative Exponent \(-1\) bedeutet ja, man soll den Kehrwert bilden). Die Ableitung selbst ist wohl klar (Potenzregel), anschließend formen wir wieder um.

Trigonometrische Funktionen

\(f\;\;\;\;\;(x)=\sin(x)\)

\(\Rightarrow{f}'\;\;\;(x)=\cos(x)\)

\(\Rightarrow{f}''\;\;(x)=-\sin(x)\)

\(\Rightarrow{f}'''\;(x)=-\cos(x)\)

\(\Rightarrow{f}''''(x)=\sin(x)\)

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich nicht nach Potenzregel ableiten (doch, aber erst im Studium).

Bei den trigonometrischen Funktionen ist es nun wirklich sinnvoll, ihre Ableitungen ohne Herleitung auswendig zu lernen. Spontan kenne ich die Herleitung übrigens selbst nicht! ;)

Beim Ableiten dieser Funktionen ergibt sich ein Kreis, denn \(\sin(x)\) wird zu \(\cos(x)\), das wird zu \(-\sin(x)\), weiter zu \(-\cos(x)\) und schließlich ergibt sich wieder \(\sin(x)\).

Ableitungskreis für die trigonometrischen Funktionen

Dann kommen wir jetzt zur e-Funktion, zu \(f(x)=e^x\). Vorweg direkt in fett:
Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten!

e-Funktion | Variante A

\(f\;\;(x)=e^x\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=\ln(e)\cdot{e}^x\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=1\cdot{e}^x=e^x\)

Die Ableitung einer exponentiellen Funktion \(f(x)=a^x\) ist \(f'(x)=\ln(a)\cdot{a}^x\). Bei der e-Funktion ergibt sich also \(f'(x)=\ln(e)\cdot{e}^x\). Und mit \(\ln(e)=1\) sind wir fertig.

e-Funktion | Variante B

\(f'(x):\) \(=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{e^x\cdot{e}^h-e^x}{h}\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{e^x(e^h-1)}{h}\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=e^x\cdot(\lim_{h\rightarrow0} \frac{e^h-1}{h})\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=e^x\cdot1=e^x\)

Da die e-Funktion so nützlich und wichtig ist, verdient ihre Ableitung gleich noch einen zweiten Beweis. Hier wird mit Hilfe der Definition der Ableitung argumentiert (\(:=\) bedeutet >definiert als<).

Wenn wir nun die e-Funktion einsetzen, erhalten wir nach ein paar Umformungen den Ausdruck \(f'(x)=e^x\cdot(\lim_{h\rightarrow0} \frac{e^h-1}{h})\). Nun strebt \(\frac{e^h-1}{h}\) für h gegen 0 gegen \(1\) - es ergibt sich wieder die e-Funktion als Ableitung. Dass besagter Grenzwert gegen \(1\) läuft, ermitteln wir per Hand:

\(h=0{,}1\rightarrow\frac{e^{0{,}1}-1}{0{,}1}\approx1{,}0517\)

\(h=0{,}01\rightarrow\frac{e^{0{,}01}-1}{0{,}01}\approx1{,}0050\)

\(h=0{,}0001\rightarrow\frac{e^{0{,}0001}-1}{0{,}0001}\approx1{,}00005\)

Bleibt der kleinlaute Hinweis, dass beide Beweise lediglich zeigen soll, dass
die e-Funktion beim Ableiten erhalten bleibt!

ln-Funktion

\(f(x)=x\Rightarrow{f}'(x)=1\)

\(f\;\;(x)=e^{\ln(x)}=x\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=e^{\ln(x)}\cdot\ln(x)'\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=x\cdot\ln(x)'\)

mit \(f'(x)=1\) muss also \(x\cdot\ln(x)'=1\)

\(\Leftrightarrow\ln(x)'=\frac1x\)

Die Ableitung der \(\ln\)-Funktion bestimmen wir indirekt: Wir wissen, dass die Ableitung von \(f(x)=x\) \(f'(x)=1\) ist (siehe erste Zeile), nun läßt sich \(x\) umständlich als \(e^{\ln(x)}\) umschreiben (denn \(e\) und \(\ln\) heben sich auf).

Bilden wir nun die Ableitung - von der wir wissen, dass sie natürlich auch \(1\) sein muss, ergibt sich nach Kettenregel \(f'(x)=e^{\ln(x)}\cdot\ln(x)'\), wobei das \(\ln(x)'\) die innere Ableitung ist und dementsprechend >Die-Ableitung-von-ln(x)< bedeuten soll (sie ist ja noch unbekannt).

Vorne formen wir zurück und erhalten in der vierten Zeile die Ableitung \(f'(x)=x\cdot\ln(x)'\). Vergleichen wir diese mit der bekannten Ableitung \(f'(x)=1\), ergibt sich die Ableitung der \(\ln\)-Funktion.

Zum Abschluss dann die versprochene Übersicht. Im Gegensatz zu den Beweisen musst du sie auswendig wissen.