Wer die Potenzregel verstanden hat, dem wird die Summenregel lachhaft vorkommen: Sie besagt einzig, dass Summanden einzeln abgeleitet werden dürfen. Kin-der-leicht!
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Summenregel
Kapiteleintrag
Summenregel
\(f(x)=g(x)\pm{h}(x)\)
\(\Rightarrow{f}'(x)=g'(x)\pm{h}'(x)\)
1. Beispiel
\(f\;\;(x)=3x^5+x^2\) \(\Rightarrow{f}'(x)=15x^4+2x\) | Hier wird jeder Summand entsprechend einzeln abgeleitet. Aus diesem Grund sagt man beim Ableiten auch: >ein Plus (oder Minus) trennt ab<. |
Solange man also eine Funktion hat, die nur aus Summen (oder Differenzen) besteht, so darf man nach Summenregel einzeln ableiten. Wir gucken einfach mal, wann das geht und wann nicht.
Beispiele
\(f(x)=7x^5-2x^3+11x-8\) \(\Rightarrow{f}'(x)=35x^4-6x^2+11\) \(g(x)=(7x^5-2x^3)\cdot(11x-8)\) \(\Rightarrow{g}\) nicht nach Summenregel ableitbar! \(h(x)=1-x^4+\frac12x^{-2}\) \(\Rightarrow{h}'(x)=\quad-4x^3-x^{-3}\) \(i(x)=(2x+1)^2\) \(\Rightarrow{i}\) nicht nach Summenregel ableitbar! \(j(x)=\frac{2x+1}{x^2+1}\) \(\Rightarrow{j}\) nicht nach Summenregel ableitbar! | Die Funktion \(f(x)\) ist normal nach Summenregel ableitbar. \(g(x)\) besteht nicht aus einzelnen Summanden, sondern aus einem Produkt - wir dürfen nicht nach Summenregel ableiten (wir könnten aber ausmultiplizieren und anschließend ableiten). Die Funktion \(h(x)\) ist wieder normal nach Summenregel ableitbar (die Funktion besteht wieder nur aus Summanden). \(i(x)\) besteht zwar aus einer Potenz, die Basis ist aber kein einfaches \(x\). Wir müssten erst die Potenz auflösen, bevor wir nach Summenregel ableiten können. Schließlich besteht \(j(x)\) aus einem Bruch, weshalb die Summenregel natürlich nicht erlaubt ist. Dies ist übrigens das einzige Beispiel, welches auch nach Umformungen nicht mit unseren Regeln abgeleitet werden könnte. Hier braucht's die Quotientenregel! |
© Christian Wenning
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