Realitätsfunktionen

Diese nicht besonders spannende Funktion soll die Geschwindigkeit eines Autofahrers in Abhängigkeit der Zeit angeben. Wie man sieht, beträgt die Geschwindigkeit konstant 100km/h - der Autofahrer fährt also zum Beispiel mit Tempomat.

Mit Hilfe der Funktionsgleichung \(f(x)=100\) lassen sich die Geschwindigkeiten zu jedem Zeitpunkt angeben, so ist etwa \(f(5)=100\), das Auto fährt also zum Zeitpunkt \(x=5\) mit einer Geschwindigkeit von \(100\frac{km}{h}\).

Preisfrage: Wieviele Kilometer ist der Autofahrer nach 5 Stunden gefahren? Logo, wer 5 Stunden lang konstant \(100\frac{km}{h}\) fährt, der ist \(5\cdot100=500km\) weit gekommen.

Verdeutlicht man dies am Graphen, so entsteht ein Rechteck unter der Funktion - wobei die Länge der Zeit (5 Stunden) und die Höhe der Geschwindigkeit (100 km/h) entspricht (Maus übers Bild). Die Fläche dieses Rechtecks ist nun gerade der zurückgelegte Weg:

\(A=a\cdot{b}\)
\(\;\;\;\;=5h\cdot100\frac{km}{h}\)
\(\;\;\;\;=500km\)

Der zurückgelegte Weg läßt sich offenbar als Fläche unter \(f\) interpretieren - diese berechnet die Stammfunktion!

PS: Es läßt sich übrigens auch ein physikalischer Zusammenhang erkennen: Da Flächeninhalte das Produkt der Seitenlängen sind, wird bei Flächen unter Funktionen praktisch \(x\cdot{f}(x)\) gerechnet. Beachtet man hier die Einheiten, erhält man für Flächen unter \(f\) die Einheit \(h\cdot\frac{km}{h}=km\) - die Fläche entspricht also dem zurückgelegten Weg!

Falls die Ausgangsfunktion \(f(x)\) also eine Geschwindigkeit angibt, so gibt die Stammfunktion \(F(x)\) den zurückgelegten Weg an.

Bei dieser Stammfunktion läßt sich noch einmal wunderbar der Zusammenhang zur Fläche unter \(f\) zeigen: Wer konstant 100\(\frac{km}{h}\) fährt, der hat nach einer Stunde \(100\cdot1=100km\) zurückgelegt, nach zwei Stunden \(100\cdot2=200km\) und eben nach \(x\) Stunden \(100\cdot{x}=100x\) Kilometer.

Betrachten wir den Graphen der Stammfunktion, so fällt noch ein weiterer Zusammenhang auf: Die Funktion \(F(x)=100x\) hat überall die gleiche Steigung \(m=100\) - der zurückgelegte Weg ändert sich pro Stunde also um 100km (Bewege dazu die Maus übers Bild: Im Beispielzeitraum \(x=5\) bis \(x=6\) ändert sich der zurückgelegte Weg um 100km). Und was mache ich, wenn ich den zurückgelegten Weg pro Stunde um 100km ändere? Logisch - ich fahre mit \(100\frac{km}{h}\).

Preisfrage: Wer oder was ermittelt bei Funktionen die Änderungsrate, bzw. die Steigung? Richtig, die Ableitung! Falls \(F(x)\) also den zurückgelegten Weg angibt, so gibt \(F'(x)\), also \(f(x)\) die gefahrene Geschwindigkeit an.

Unser gefundener Zusammenhang funktioniert also in beide Richtungen: Die Aufleitung einer Geschwindigkeitsfunktion gibt den tatsächlich gefahrenen Weg an und die Ableitung der Wegfunktion gibt die Geschwindigkeit an.

Betrachten wir nun die Änderung der Ausgangsfunktion - also die Steigung von \(f\) - etwa an unserem Beispielzeitpunkt \(x=5\).

Am Graphen fällt sofort auf, dass sich die Funktion bei \(x=5\) (besser zwischen \(x=5\) und \(x=6\)) nicht ändert - sie ist ja vielmehr überall konstant 100.

Der Fahrer ändert seine Geschwindigkeit also nie - und was macht man, wenn man seine Geschwindigkeit nicht ändert? Man beschleunigt nicht (und bremst nicht).

Die Änderung einer Geschwindigkeit ist also die Beschleunigung - und auch hier läßt sich das anhand der Einheiten aufzeigen: Die Änderung einer Funktion, also die Steigung wird prinzipiell ja mittels Differenzquotienten gebildet, also durch \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Betrachten wir die zugehörigen Einheiten, rechnet man also \(m=\frac{y}{x}=\frac{\frac{km}{h}}{h}=\frac{km}{h^2}\). Und siehe da, \(\frac{km}{h^2}\) ist tatsächlich die physikalische Einheit der Beschleunigung.

Bei Funktionen wird die Steigung mit Hilfe der ersten Ableitung bestimmt - diese gibt also die Beschleunigung an.

Klar, da unser Fahrer seine Geschwindigkeit nie ändert (er fährt ja konstant 100km/h), ist die Beschleunigung die ganze Zeit 0.

Anders gesagt: Wäre die Beschleunigung an irgendeiner Stelle positiv, würde der Fahrer seine Geschwindigkeit ja erhöhen - wäre sie negativ, würde der Fahrer bremsen und damit seine Geschwindigkeit verringern. Wer aber konstant 100km/h fährt, beschleunigt und bremst nie.

Sofern die Ausgangsfunktion also Geschwindigkeiten angibt (das ist im Abitur btw. zu 90% der Fall), so gibt die Stammfunktion den Bestand, und die Ableitung die Beschleunigung an.

Falls die Ausgangsfunktion jedoch bereits den Bestand angibt, so gibt die Ableitung die Geschwindigkeit, und die zweite Ableitung die Beschleunigung an.

Zum Schluss betrachten wir noch einmal eine Geschwindigkeitsfunktion (hier eine Zulaufrate einer Badewannenfüllung - beachte die Ausgangsfunktion \(f(x)\) in der Mitte des Bildes). Dass es sich um eine Geschwindigkeitfunktion handelt, erkennt man am einfachsten an der Einheit, hier Liter pro Stunde, bzw. insbesondere am pro Stunde (wäre \(f(x)\) in Litern, gäbe die Ausgangsfunktion einen Bestand an). Da \(f\) also eine Änderungsrate angibt, wird der Bestand mit \(F\), und die Änderung der Geschwindigkeit (die Beschleunigung) mit \(f'\) bestimmt.

Wann ist die Zulaufgeschwindigkeit am größten?

Da \(f\) die Geschwindigkeit angibt, ist diese natürlich im Hochpunkt der Funktion am größten - also etwa bei \(x=1,8\), beim roten Strich. Betrachten wir die Stammfunktion, so erkennen wir am selben Zeitpunkt eine Wendestelle. Das ist so, da Wendestellen stets extreme Steigung innehaben, und wenn die (Zulauf-)Geschwindigkeit am größten ist, ändert sich der Bestand maximal schnell. Schließlich erkennen wir in der Ableitung (der Beschleunigungsfunktion) eine Nullstelle, wobei die Beschleunigung vor der Nullstelle positiv, und nach der Nullstelle negativ ist (\(f'\) ändert sein Vorzeichen bei \(x\approx1,8\) von positiv nach negativ. Auch das ist im Zusammenhang richtig, denn so lange meine Beschleunigung positiv ist, erhöhe ich ja meine Geschwindigkeit - erst, wenn ich anfange zu bremsen (wenn ich das Vorzeichen ändere), verringer ich sie wieder. Zum Zeitpunkt des Vorzeichenwechsels der Beschleunigungsfunktion ist die Geschwindigkeit also am größten (übrigens ist das das Vorzeichenwechselkriterium der ersten Ableitung für Hochpunkte).

Wann wird Wasser weder ein- noch ausgelassen?

Damit kein Wasser fließt, muss die Geschwindigkeit null sein - es handelt sich also um die Nullstellen von \(f\) (der lilane und orangene Strich). Auch an der Bestandsfunktion kann man die Stellen ohne Zulaufgeschwindigkeit erkennen - wenn die Geschwindigkeit null ist, ändert sich der Bestand nicht. Wir suchen also Stellen mit der Steigung null (und das ist in Hoch- und Tiefpunkten ja der Fall). Im Übrigen erkennt man hier die notwendige Bedingung für ESTs - die Steigung in Hoch- und Tiefpunkten ist null. Schließlich läßt sich die Frage nach Zeitpunkten ohne Geschwindigkeit mit der Beschleunigungsfunktion nicht beantworten (wir erkennen am lila und orangenen Strich bei \(f'\) keine besondere Punkte).

PS: Wir haben den grünen Strich vergessen: Hier ist die Geschwindigkeit am größten negativ (es wird Wasser maximal schnell ausgelassen) - der Zusammenhang ist also analog zum roten Strich. Beachte dazu noch einmal die zugehörige Wendestelle bei \(F\) (diesmal mit maximaler negativer Steigung), sowie die Nullstelle, bzw. wichtiger noch den Vorzeichenwechsel in der Ableitung (jetzt von minus nach plus).

Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, an dem wieder genausoviel Wasser in der Badewanne ist, wie zu Beginn!

Betrachten wir zuerst die Geschwindigkeitsfunktion in der Mitte. Da hier nun aber nach dem Bestand (nach Litern Wasser) gefragt ist, betrachten wir die Flächen unter \(f\).

Nun sieht man, dass die rote Fläche (soviel Wasser wird zuerst eingelassen) viel größer ist, als die Blaue (soviel Wasser wird anschließend ausgelassen). Um aber wieder den selben Anfangsbestand zu erhalten, müsste (mindestens) genausoviel Wasser abgelassen werden, wie zuvor hinzugefügt wurde. Insgesamt wird der (übrigens unbekannte) Anfangsbestand nicht mehr erreicht.

Betrachten wir die Bestandsfunktion selbst, also \(F(x)\), so wird dieser Zusammenhang noch deutlicher: Zuerst wird sehr viel Wasser hinzugefügt (F steigt um 34 Liter auf ca. 44 Liter), dann aber viel weniger wieder abgelassen (die 12 Liter herausgelassenes Wasser). Der Bestand fällt also nicht wieder bis auf den Anfangsbestand (von 10 Litern) - und da anschließend nur noch Wasser hinzugefügt wird, wird der Anfangsbestand tatsächlich nie mehr erreicht.

Allein anhand der Beschleunigungsfunktion ließe sich die Frage übrigens nicht beantworten.