Reale KD: e-Funktion

Kapiteleintrag

Wir werden hier eine realitätsbezogene e-Funktion untersuchen. Wir möchten verstehen, wie man die Probleme und Fragen zur Realität auf die (aus der normalen Kurvendiskussion) bekannten Eigenschaften einer Funktion überträgt.

Der Ahorn

1) In einer Baumschule soll das Wachstum eines Ahorns mathematisch untersucht werden. Dazu wurde eine e-Funktion und ihre zugehörige Stammfunktion gefunden, welche nun abschließend auf folgende Eigenschaften eines Ahorns hin untersucht werden sollen (Zum Zeitpunkt \(x=0\) wird der Ahorn ausgesäht; die Funktion \(f\) gibt die Wachstumsgeschwindigkeit an). Überprüfen Sie alle Angaben!

\(f(x)=\frac32x^2e^{-\frac23x};\;\;\;F(x)=(-\frac94x^2-\frac{27}4x-\frac{81}8)e^{-\frac23x}\)

a) Nur zum Aussaatszeitpunkt wachsen Ahorne gar nicht.

b) Sie wachsen nach drei Monaten am schnellsten.

c) Nach etwa 26 Tagen ändern die lateinisch Acer genannten Pflanzen ihre Wachstumsgeschwindigkeit maximal (positiv).

d) Langfristig wachsen Ahorne nahezu gar nicht mehr.

e) Insgesamt werden Bäume dieser Gattung \(10,125m\) groß.

f) Innerhalb des ersten Halbjahres erreichen die Vorlagen der kanadischen Flagge bereits mindestens 75% ihrer vollen Größe.

2) Zur besseren Übersicht soll der Graph derjenigen Funktion gezeichnet werden, der die tatsächliche Höhe des Ahorns angibt (es ist die Funktion \(h(x)=F(x)+10,125\)). Skizzieren Sie diesen Graphen (ohne Rechnung) und verdeutlichen Sie den in 1f) gezeigten Zusammenhang (75% Höhe innerhalb der ersten sechs Monate).

Los geht′s...

Aufgabe 1a) Kein Wachstum?

\(f(x)=\frac32x^2e^{-\frac23x}\)

\(\frac32x^2e^{-\frac23x}=0\)

\(\Rightarrow{\frac32x^2}=0\vee{e}^{-\frac23x}=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\)

Die Pflanze wächst nicht, wenn ihre Wachstumsgeschwindigkeit \(0\) ist, wir suchen also die Nullstellen von \(f\).

Dazu setzen wir die einzelnen Faktoren gleich Null, und mit \(e^x\ne0\) erhalten wir nur links die Lösung \(x=0\) - den Aussaatszeitpunkt.

Übrigens würde es hier nicht reichen, einfach zu zeigen, dass \(f(0)=0\) ist - wir sollten zeigen, dass Ahorne nur(!) zu Beginn nicht wachsen (es darf also keine weitere Nullstelle geben).

Aufgabe 1b) Maximale Wachstumsgeschwindigkeit?

\(f(x)=\frac32x^2e^{-\frac23x}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=(-x^2+3x)e^{-\frac23x}\)

\(\Rightarrow{f}''(x)=(\frac23x^2-4x+3)e^{-\frac23x}\)

EST: \(f'(x)=0\) (Not.B.)

\(\Rightarrow(-x^2+3x)e^{-\frac23x}=0\)

\(\Rightarrow{-x^2+3x}=0\vee{e}^{-\frac23x}=0\)

\(\Rightarrow{x}(-x+3)=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=3\)

Maximum \(f''(x_e)\lt0\) (Hin.B.)

\(f''(3)=-3e^{-2}\lt0\Rightarrow{HP}\)

Damit der Baum maximal schnell wächst, muss die Wachstumsgeschwindigkeit, also \(f\), maximal sein. Klar - der Hochpunkt ist gesucht.

Und da er bei \(x=3\) liegt, stimmt die oben angegebene Eigenschaft (wir müssen die Geschwindigkeit selbst nicht angeben, können also auf die Berechnung des y-Wertes verzichten).

Aufgabe 1c) Größte Änderung nach 26 Tagen?

\({f}''(x)=(\frac23x^2-4x+3)e^{-\frac23x}\)

WST: \(f''(x)=0\) (Not.B.)

\(\Rightarrow(\frac23x^2-4x+3)e^{-\frac23x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac23x^2-4x+3=0\vee{e}^{-\frac23x}=5\)

\(\Rightarrow{x}^2-6x+\frac92=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=3\pm\sqrt{3^2-\frac92}\)

\(\Rightarrow{x}\approx0,878\vee{x}\approx5,121\)

\(0,878\cdot30\approx26,360\)

Funktionen ändern sich in Wendestellen maximal - diese sind hier also gesucht.

Mit der WST bei \(x\approx0,878\) (Monaten) stimmt die Aussage, da dies etwa 26 Tagen entspricht.

Wir haben hier übrigens auf eine ganze Reihe an Rechnungen verzichtet, zumindest begründen sollten wir das: Ersteinmal geht aus den bereits bestimmten Extremstellen hervor, dass sich die Wachstumsgeschwindigkeit nur innerhalb der ersten drei Monate erhöht (daher ignorieren wir die zweite WST). Weiter muss zwischen zwei Extremstellen immer eine Wendestelle liegen (daher ignorieren wir die hinreichende Bedingung) und schließlich wurde auch hier nicht nach der tatsächlichen Geschwindigkeit gefragt (wir müssen den y-Wert nicht berechnen).

Aufgabe 1d) Langfristig fast kein Wachstum mehr?

\(f(x)=\frac32x^2e^{-\frac23x}\)

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac32\cdot\infty^2\cdot{e}^{-\frac23\cdot\infty}=(\infty\cdot0)=0\)

Das Wort langfristig (also nach 10, 100 oder 1000 Monaten...) verrät, dass der Grenzwert gesucht ist.

Mit \(e^{-\infty}\to0\) strebt alles gegen Null (e-Funktionen sind gewichtiger als ganzrationale Funktionen).

Aufgabe 1e) Insgesamt 10,125 Meter hoch?

\(f(x)=\frac32x^2e^{-\frac23x}\)

\(\Rightarrow{F}(x)=(-\frac94x^2-\frac{27}4x-\frac{81}8)e^{-\frac23x}\)

\(\int_0^{\infty}f(x)dx=F(\infty)-F(0)\)

\(=(-\frac94\cdot\infty^2-\frac{27}4\cdot\infty-\frac{81}8)e^{-\frac23\cdot\infty}-(-0-0-\frac{81}8)e^0\)

\(=0+\frac{81}8\)

\(=10,125\)

Die tatsächliche Höhe des Ahorns wird per Integral berechnet (\(f\) gibt eine Geschwindigkeit an, also gibt \(F\) einen Bestand an), wegen des Wortes "insgesamt" ist das Integral bis Unendlich gesucht.

Mathematisch besser wäre es übrigens den Grenzwert per Limes zu berechnen (denn die Nicht-Zahl \(\infty\) darf man nicht einsetzen), also \(\lim_{u\to\infty}\left(\int_0^uf(x)dx\right)\).

Jedenfalls ergibt das Integral den Wert 10,125 - die Höhe des Ahorns.

Aufgabe 1f) 75% innerhalb sechs Monaten?

\(\int_0^6f(x)dx=F(6)-F(0)\)

\(\approx7,714\)

\(\frac{7,714}{10,125}\approx0,762\;\;\;(\ge75\%)\)

Analog zu Aufgabe 1e) berechnen wir die Höhe nach einem halben Jahr per Integral.

Die erreichte Höhe entsprechen etwa 76% der Gesamthöhe, es sind also bereits mehr als Dreiviertel erreicht.

Aufgabe 2) 75% innerhalb sechs Monaten?

Um den Graphen zu zeichnen, empfiehlt es sich, die beiden aus Teil 1 bekannten Höhen einzuzeichnen, also die Punkte \(P(0|0)\) und \(Q(6|7,7)\), sowie die waagerechte Asymptote bei \(y=10,125\) (hier strebt die Höhe des Ahorns ja gegen). Beim Verbinden sollte man noch darauf achten, bis \(x=3\) immer schneller (hier ist die Wachstumsgeschwindigkeit ja maximal), und dann wieder immer langsamer zu steigen.

Der 75%-Zusammenhang ergibt sich nun aus dem y-Wert bei \(x=6\), nämlich \(y=7,714\) und der Asymptote bei \(y=10,125\) (der rote und der blaue Balken).