Das Integral

Kapiteleintrag

Fläche unter \(f\)

Mit Integralen berechnet man Flächen zwischen einer Funktion, der x-Achse und den senkrechten Grenzen \(a\) und \(b\).

Man schreibt \(\int_a^bf(x)\text{ d}x\) (lies: "Integral-von-a-nach-b-unter-f(x)-dx"), wobei \(a\) und \(b\) Unter-, bzw. Obergrenze des Integrals sind und \(f\) der Integrand.

Hauptsatz der Integralrechnung

\(\text{A}=\int_a^bf(x)\text{ d}x\)

\(\text{A}=F(b)-F(a)\)

Integrale lassen sich mit dem Hauptsatz der Integralrechnung ausrechnen, man muss nämlich nur die Obergrenze \((b)\) in die Stammfunktion einsetzen und die eingesetzte Untergrenze \((a)\) wieder abziehen. Bestimmen wir also unsere Beispielfläche (aus dem Bild oben).

1. Beispiel

\(f(x)=-\frac34x^2+3x+1\)

\(\Rightarrow{F}(x)=-\frac14x^3+\frac32x^2+x\)

\(\text{A}=\int_1^3\) \(f(x)\text{ d}x\)

\(=F(3)-F(1)\)

\(=(-\frac14\cdot3^3+\frac32\cdot3^2+3)-(-\frac14\cdot1^3+\frac32\cdot1^2+1)\)

\(=9{,}75-2{,}25=7{,}5FE\)

Wie man sieht, besteht die einzige Schwierigkeit der Integralrechnung darin, eine Stammfunktion zu finden. Hat man diese nämlich gefunden, so muss man für die gesuchte Fläche schlicht die Grenzen einsetzen (und das in den TR tippen..).

\(f\) schließt also im Intervall \([1;3]\) zusammen mit der x-Achse eine Fläche \(\text{A}=7{,}5FE\) ein.

Vorläufige Zusammenfassung Integral

➤ Ein Integral berechnet die Fläche zwischen \(f\), der x-Achse und den senkrechten Integralgrenzen.

➤ Man schreibt \(\int_a^b{f(x)}dx\) und meint damit die Fläche zwischen \(f\) und x-Achse in den Grenzen \(a\) und \(b\) (~im Intervall \([a;b]\)).

➤ Man berechnet Integrale, indem man die Differenz aus eingesetzter Ober- und Untergrenze bestimmt. Als Merksatz dient hier: Ober- minus Untergrenze!

Bei der Berechnung von Integralen kann es allerdings zu einem Problem kommen, genaugenommen ist die obige Zusammenfassung nämlich nicht ganz richtig. Um diese Besonderheit zu verstehen, bestimmen wir zwei weitere Flächen:

2. Beispiel | Teil 1

\(f(x)=x^3-6x^2+8x\)

\(\Rightarrow{F}(x)=\frac14x^4-2x^3+4x^2\)

Berechnung der Fläche \(A_1\)

\(A_1=\int_0^2\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(2)-F(0)\)

\(=\frac14\cdot2^4-2\cdot2^3+4\cdot2^2-(\frac14\cdot0^4-2\cdot0^3+4\cdot0^2)\)

\(=4\)

\(\Rightarrow{A}_1=4FE\)

Berechnung der Fläche \(A_2\)

\(A_2=\int_2^4\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(4)-F(2)\)

\(=\frac14\cdot4^4-2\cdot4^3+4\cdot4^2-(\frac14\cdot2^4-2\cdot2^3+4\cdot2^2)\)

\(=-4\)

\(\Rightarrow{A}_2=4FE\)

Hier werden die beiden Flächen mit Hilfe des "HdI" normal bestimmt.

Bei \(A_1\) setzen wir also die Grenzen \(0\) und \(2\) in die Stammfunktion ein, subtrahieren die Ergebnisse und erhalten eine Fläche von \(A_1=4FE\).

Analog bestimmen wir \(A_2\), indem wir die \(2\) und die \(4\) in die Stammfunktion einsetzen und subtrahieren, allerdings liefert das Integral den negativen Wert \(-4\).

Warum das so ist, sieht man schnell am Graphen der Funktion: Die Fläche \(A_2\) liegt ja unterhalb der x-Achse! Betrachtet man Flächen nämlich wie gewohnt als Produkt von Breite und Höhe (hier also \(x\cdot{y}\)), dann sind Flächen unterhalb der x-Achse negativ, denn sie besitzen ja eine negative Höhe (\(y\lt0\)).

Nun sind Flächen natürlich immer positiv, das Ergebnis für \(A_2\) beträgt also auch \(4FE\).

Preisfrage: Wie groß ist bei obigem Beispiel denn nun die insgesamt eingeschlossene Fläche? Klar, sie beträgt \(4+4=8FE\).

Dann gucken wir mal, was das Integral berechnet:

2. Beispiel | Teil 2

\(f(x)=x^3-6x^2+8x\)

\(\Rightarrow{F}(x)=\frac14x^4-2x^3+4x^2\)

Berechnung der gesamten Fläche \(A_{ges}\)

\(A_{ges}=\int_0^4\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(4)-F(0)\)

\(=\frac14\cdot4^4-2\cdot4^3+4\cdot4^2-(\frac14\cdot0^4-2\cdot0^3+4\cdot0^2)\)

\(=0\)

\(\Rightarrow{A}_{ges}=0FE\text{ ?}\)

Die gesamte Fläche liegt über dem Intervall \([0;4]\), wir integrieren also von \(0\) bis \(4\).

Anders als erwartet, liefert das Integral aber den Wert \(0\)?!

Integrale bestimmen also nicht (die Summe der) Flächen unter \(f\), sondern die Bilanz der Flächen!

In unserem Beispiel berechnet das vordere Integral ja den Wert \(4\) und das Hintere den Wert \(-4\). Addiert man nun diese Werte, so erhält man den Wert \(0\), denn \(4+(-4)=0\) - man bestimmt die Bilanz!

Anschaulich wird das ganze, wenn wir die Flächen z.B. als Gewinn und Verlust interpretieren. Wenn wir in den ersten zwei Monaten 4 Tausend Euro einnehmen (\(\int_0^2=4\)), in den nächsten vier Monaten aber 4 Tausend Euro Verlust einfahren (\(\int_2^4=-4\)), dann kommen wir insgesamt genau auf \(0\)!

Okay, das halten wir fest:

Endgültige Zusammenfassung Integral

➤ Ein Integral berechnet die Bilanz der Fläche zwischen \(f\), der x-Achse und den senkrechten Integralgrenzen.

➤ Weil das so ist, darf man bei der Flächenberechnung nie über Nullstellen hinweg integrieren!

3. Beispiel

\(f(x)=3x^2\cdot{e}^{-x}\)

\(\Rightarrow{F}(x)=(-3x^2-6x-6)\cdot{e}^{-x}\)

\(A=\int_1^4\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(4)-F(1)\)

\(=(-3\cdot4^2-6\cdot4-6)e^{-4}\)

\(-(-6\cdot1^2-6\cdot1-6)e^{-1}\)

\(\approx-1{,}429-(-5{,}518)\)

\(\approx4{,}089FE\)

Hier wird die Fläche unter \(f(x)=3x^2\cdot{e}^{-x}\) im Intervall \([1;4]\) gesucht.

Da die Fläche von keiner Nullstelle unterbrochen wird, können wir normal integrieren. Die Stammfunktion muss partiell hergeleitet werden (siehe dazu: Partielle Integration).

An dieser Stelle noch ein kleiner Hinweis in eigener Sache:

Wie gerade festgestellt, ist es ein großer Unterschied, ob ein Integral oder eine Fläche gesucht wird. Auf diesen Seiten wird allerdings stets das Integral berechnet, und im Falle einer gesuchten Fläche wird der Wert anschließend positiviert: \(\int_0^2f(x)\text{ d}x=-2\Rightarrow{A}=|-2|=2FE\).

In der Schule möchten manche Lehrer aber, dass man im Falle einer gesuchten Fläche von vorneherein Betragsstriche setzt, damit das Ergebnis in jedem Fall positiv ist (d.h., du musst direkt \(A=\left|\int_0^2f(x)\text{ d}x\right|\) berechnen)!

Am besten fragst du also deinen Lehrer, wie er es am liebsten hat - im Sinne der Flächenberechnung sind beide Wege sinnvoll!