Stammfunktion

Kapiteleintrag

Die Stammfunktion ist die Aufleitung der Ausgangsfunktion. Mit anderen Worten ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), falls ihre Ableitung wieder \(f\) ergibt.

Stammfunktion

\(F\) \((x)\text{ ist Stammfunktion}\)

\(\Leftrightarrow{F}\;'(x)=f(x)\)

1. Beispiel

\(F(x)=x^3\)

\(F\) ist Stammfunktion von \(f(x)=3x^2\), denn \(F'(x)=3x^2\)

Die Funktion \(F(x)=x^3\) ist also tatsächlich eine Stammfunktion von \(f(x)=3x^2\).

Wie aber bildet man die Stammfunktion? Nun, man muss die Ausgangsfunktion sozusagen "rückwärts ableiten" - eben aufleiten.

Statt den Exponenten um einen zu verringern (ableiten), müssen wir ihn nun also um einen erhöhen. Und da wir beim Ableiten noch mit diesem Exponenten multiplizieren müssten, dividieren wir durch ihn beim Aufleiten (wobei wir statt zu dividieren lieber "mal den Kehrwert" rechnen).

Aufleitung von Potenzfunktionen

\(f(x)=ax^n\)

\(\Rightarrow{F}\) \((x)=a\cdot\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)

2. Beispiel

\(f(x)=-8x^3\)

\(\Rightarrow{F}\) \((x)=-8\cdot\frac{1}{4}x^4=-2x^4\)

Hier wird stur nach dem Satz aufgeleitet. Aus dem Exponenten \(3\) wird die \(4\), diese kommt noch als Bruch vor die Variable (besser: der Kehrwert des Exponenten wird zum Vorfaktor). Dass die Stammfunktion stimmt sieht man schnell durch ableiten:

\(F'(x)=4\cdot(-2)x^3=-8x^3=f(x)\)

Rezept zum Aufleiten von ganzrationalen Funktionen

1. Alle Exponenten der Funktionsvariablen um einen erhöhen.

2. Vor jede Funktionsvariable den Bruch \(\frac{1}{\text{neuer Exponent}}\) als Faktor schreiben.

3. Konstante Vorfaktor stehen lassen und gegebenenfalls mit den Brüchen aus 2) zusammenfassen.

3. Beispiel

\(f(x)=x^3+9x^2-4x^{(1)}\)

\(\Rightarrow{F}\) \((x)=\frac14x^4+9\cdot\frac13x^3-4\cdot\frac12x^2\)

\(\Leftrightarrow{F}\) \((x)=\frac14x^4+3x^3-2x^2\)

Im Beispiel wird stur das Rezept umgesetzt. Nach dem Zusammenfasssen erhalten wir die Stammfunktion von \(f\).

Dazu noch ein paar Anmerkungen:

1. Das Aufleiten einer addierten Konstanten (~einer Zahl), ist das Produkt dieser Zahl mit \(x\) (besser: mit der Funktionsvariablen). Die Stammfunktion zu \(f(x)=2\) lautet also \(F(x)=2x\).

2. Da die Stammfunktion nur abgeleitet zur Ausgangsfunktion werden muss, lassen sich stets beliebig viele Stammfunktionen angeben, indem man einfach verschieden Konstanten (Zahlen) addiert. Etwa ist \(F(x)=2x^2\) eine Stammfunktion von \(f(x)=4x\), aber genauso sind \(F_1(x)=2x^2+1\), \(F_2(x)=2x^2-15\), \(F_3(x)=2x^2+\frac12\) oder \(F_4(x)=2x^2+\frac{\pi}{4}\) richtige Stammfunktionen von \(f\). Aus diesem Grund spricht man übrigens auch immer von einer Stammfunktion (und nicht von der). Da die addierte Konstante bei der Flächenberechnung - wofür die Stammfunktion hauptsächlich benutzt wird - keine Rolle spielt, verzichte ich auf diesen Seiten allerdings auf sie.

3. Man darf nur nach unserer Regel aufleiten, wenn man zum Ableiten keine besondere Regel braucht! Wird \(f\) bspw. per Produktregel abgeleitet, dürfen wir für \(F\) nicht einfach die Exponenten wie beschrieben erhöhen, sondern wir benötigen auch zum Aufleiten besondere Regeln (in diesem Fall: Partielle Integration). Dazu noch ein paar Beispiele.

4. Beispiel

\(f(x)=x^2(4x-3)\)

\(\Leftrightarrow{f}(x)=4x^3-3x^2\)

\(\Rightarrow{F}\) \((x)=4\cdot\frac14x^4-3\cdot\frac13x^3\)

\(\Leftrightarrow{F}\) \((x)=x^4-x^3\) \((+c)\)

Um diese Funktion abzuleiten benötigt man die Produktregel, wir dürfen nicht direkt aufleiten. Allerdings läßt sich die Funktion ausmultiplizieren, so dass wir anschließend normal aufleiten können.

Hier ein letztes Mal die addierte Konstante \(c\).

5. Beispiel

\(f(x)=x^2\cdot\sin(x)\)

\(\Rightarrow{F}\) nicht ohne weiteres bildbar!

Auch hier benötigen wir die Produktregel zum Ableiten, nur können wir das Produkt diesmal nicht umgehen.

Die Stammfunktion ist mit unseren bisherigen Mitteln nicht bildbar.

6. Beispiel

\(f(x)=\frac{x^3-2x^2+x}{x}\)

\(\Leftrightarrow{f}(x)=\frac{x^3}{x}-\frac{2x^2}{x}+\frac{x}{x}\)

\(\Leftrightarrow{f}(x)=x^2-2x+1\)

\(\Rightarrow{F}(x)=\frac13x^3-x^2+x\)

Um \(f\) abzuleiten bräuchten wir die Quotientenregel, wir dürfen nicht direkt aufleiten. Nachdem alle Brüche eliminiert sind, braucht's zum Ableiten keine besondere Regeln mehr, wir leiten normal auf.