Uneigentliches Int.

Kapiteleintrag

Fläche unter \(e^x\)

Uneigentliche Integrale berechnen Flächen, die bis ins positive oder negative Unendliche reichen. Im Bild ist die Fläche zu sehen, welche die e-Funktion zusammen mit beiden Achsen einschließt.

Die Integralgrenzen dieser Fläche sind \(0\) und \(-\infty\), allerdings dürfen wir die (vermeintliche) Zahl \(-\infty\) nicht einsetzen sondern müssen den Limes berechnen. Das funktioniert wie folgt:

1. Beispiel

\(f(x)=e^x\)

\(\Rightarrow{F}(x)=e^x\)

Berechnung der Fläche

\(A=\begin{matrix}\lim \\ u\to-\infty\end{matrix}\;\;\;\left(\int_u^0f(x)\text{ d}x\right)\)

\(=\begin{matrix}\lim \\ u\to-\infty\end{matrix}\;\;\;\left(F(0)-F(u)\right)\)

\(=\begin{matrix}\lim \\ u\to-\infty\end{matrix}\;\;\;\left(e^0-e^u\right)\)

\(=1-0=1FE\)

Wie gerade geschildert, bestimmen wir so gesehen das Integral \(\int_{-\infty}^0e^x\text{ d}x\), da \(-\infty\) aber keine Zahl ist, müssen wir stattdessen die Limes-Schreibweise benutzen: Wir können ja nur gegen Unendlich laufen.

Das Integral selbst wird dann ganz normal berechnet, wir setzen also die Grenzen \(0\) und \(u\) in die Stammfunktion ein (die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\)).

Danach wird noch der Grenzwert bestimmt, hier ist \(e^0=1\) (alles hoch \(0\) ist \(1\)) und

\(\begin{matrix}\lim \\ u\to-\infty\end{matrix}\;\;\;e^u\rightarrow0\)

Wir erhalten also eine Fläche von \(A=1-0=1FE\).

Im Sinne der Aufgabe sollte man natürlich stets eine konstante Fläche erhalten (ansonsten wäre sie unendlich groß). Dafür muss der Summand mit dem \(u\) wegfallen, also zu \(0\) werden.

(So gesehen kann man ihn zur Not fast ohne Rechnung durch \(0\) ersetzen, wenn man den Limes auflöst.)

2. Beispiel

\(f(x)=\frac{4}{x^2}\qquad\;\;(=4x^{-2})\)

\(\Rightarrow{F}(x)=-\frac4x\qquad(=4\cdot(-1)x^{-1})\)

Berechnung der Fläche

\(A=\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(\int_2^uf(x)\text{ d}x\right)\)

\(=\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;(F(u)-F(2))\)

\(=\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(-\frac{4}{u}-(-\frac42)\right)\)

\(=-0-(-2)=2FE\)

Ein fast analoges Beispiel. Hier reicht die Fläche von \(x=2\) bis ins positive Unendliche, wir bilden also \(\int_2^u{f(x)dx}\) und bestimmen anschließend den Grenzwert \(\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\).

Die Stammfunktion läßt sich schnell herleiten, wenn man die Funktion als Potenz schreibt - mit negativem Exponenten. Diesen dann um einen auf \(-1\) erhöhen und die vier mit \(-1\) multiplizieren - eigentlich mit \(\frac{1}{-1}\).

Und da

\(\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(\frac1u\right)\rightarrow0\)

erhalten wir wieder eine konstante Fläche.

Fläche bis ins Unendliche

\(A=\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(\int_c^uf(x)dx\right)\)

bzw. \(A=\begin{matrix}\lim \\ u\to-\infty\end{matrix}\;\;\;\;\;\left(\int_u^cf(x)dx\right)\)

Zusammenfassung Uneigentliches Integral

➤ Uneigentliche Integrale berechnen Flächen, die bis ins positive oder negative Unendliche reichen.

➤ Man bestimmt solch eine Fläche durch einen der obigen Limiten.

➤ Damit die Fläche nicht unendlich groß wird, sollte \(\begin{matrix}\lim \\ u\to\pm\infty\end{matrix}\;\;\;F(u)\rightarrow0\), der Grenzwert also stets gegen Null gehen und damit wegfallen.

3. Beispiel

\(f(x)=2x\cdot{e}^{-x^2}\)

\(\Rightarrow{F}(x)=-e^{-x^2}\)

Berechnung der Fläche \(A_1\)

\(A_1=\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(\int_0^uf(x)\text{ d}x\right)\)

\(=\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(F(u)-F(0)\right)\)

\(=\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(-e^{-u^2}-(-e^0)\right)\)

\(=-0-(-1)=1FE\)

Berechnung von \(A_{ges}\)

\(\Rightarrow{A}_{ges}=2\cdot{A}_1=2FE\)

Die gesuchte Fläche reicht eigentlich von \(-\infty\) bis \(+\infty\), wir dürfen aber nicht über Nullstellen hinweg integrieren (das Integral \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\text{ d}x\) lieferte den Wert \(0\), die Bilanz der Flächen). Also benötigten wir eigentlich zwei Integrale, hier läßt sich aber die Symmetrie ausnutzen, so dass wir eine Fläche einfach verdoppeln.

Bei der Berechnung des Integrals strebt der Limes

\(\begin{matrix}\lim \\ u\to\infty\end{matrix}\;\;\;\left(-e^{-u^2}\right)\)

wie immer gegen Null und wir erhalten eine konstante Fläche.