Definitionsbereich

Kapiteleintrag

Der Definitionsbereich beschreibt, für welche Zahlen eine Funktion definiert ist, welche Zahlen man also überhaupt einsetzen darf. Der einfachste Definitionsbereich ist \(D(f)=\mathbb{R}\), es dürfen also alle (reelen) Zahlen eingesetzt werden.

Funktionen mit \(D(f)=\mathbb{R}\)

ganzrationale Funktion

\(f(x)=a_nx^n+\) \(...\) \(+a_1x+a_0\)

trigonometrische Funktionen

\(f(x)=\sin(x);\) \(f(x)=\cos(x)\)

exponentielle Funktion

\(f(x)=b\cdot{a}^x\)

e-Funktion

\(f(x)=e^x\)

Bei keiner dieser Funktionen dürfen wir etwas nicht einsetzen. Der Definitionsbereich ist also stets \(D(f)=\mathbb{R}\).

Okay, dann weiter zu den Funktionen, bei denen wir etwas einschränken müssen.

Funktionen mit Einschränkungen

Rationale Funktion

\(f(x)=\frac1x\)

\(D(f)=\mathbb{R}\mid{x}\ne0\)

Wurzelfunktion

\(f(x)=\sqrt{x}\)

\(D(f)=\mathbb{R}\mid{x}\ge0\)

ln-Funktion

\(f(x)=\ln(x)\)

\(D(f)=\mathbb{R}\mid{x}\gt0\)

Da man nicht durch 0 teilen kann, darf ein Bruch keine 0 im Nenner haben. In \(f(x)=\frac1x\) darf also alles außer der 0 eingesetzt werden - der Definitionsbereich ist \(D(f)=\mathbb{R}\mid{x}\ne0\).

Da man die (Quadrat-)Wurzel nur aus positiven Zahlen und der Null ziehen kann, dürfen wir in die Wurzelfunktion nur Zahlen einsetzen, die größer oder gleich 0 sind. Hier ist also \(D(f)=\mathbb{R}\mid{x}\ge0\).

Schließlich kann man den \(\ln\) nur aus echt positiven Zahlen ziehen. Daraus ergibt sich der Definitionsbereich \(D(f)=\mathbb{R}\mid{x}\gt0\).

Sobald die Funktion also einen Bruch, eine Wurzel oder einen Logarithmus hat, muss man den Definitionsbereich berechen. Möglicherweise darf man ja nicht alles einsetzen.

1. Beispiel

\(f(x)=\frac{x^2}{4x-8}\)

Nebenrechnung

\(4x-8\;\,=0\qquad\mid+8\quad\mid\div4\)

\(\Leftrightarrow\;\;\;{x}\qquad\quad=2\)

Definitionsbereich

\(\Rightarrow{D}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)

Hier liegt eine gebrochenrationale Funktion vor, also darf der Nenner nicht Null werden.

Per Nebenrechnung bestimmen wir also die \(x\), für die der Nenner Null wird und schließen sie nachfolgend aus. In diesem Beispiel erhalten wir für \(x=2\) den (wörtlich gemeint) unberechenbaren Ausdruck \(f(2)=\frac{2^2}{4\cdot2-8}=\frac40\). Wir dürfen die \(2\) also nicht einsetzen!

2. Beispiel

\(f(x)=\ln(-\frac12x^3+4)\)

Nebenrechnung

\(-\frac12x^3+4\gt0\qquad\quad\;\mid-4\)

\(\Leftrightarrow-\frac12x^3\qquad\;\;\gt-4\qquad\mid\div(-\frac12)\)

\(\Leftrightarrow\qquad\;\;\,{x}^3\qquad\;\,\lt8\qquad\quad\;\,\mid\sqrt[3]{\ }\)

\(\Leftrightarrow\qquad\;\;{x}\qquad\quad\;\,\lt2\)

Definitionsbereich

\(\Rightarrow{D}(f)=\mathbb{R}\mid{x}\lt2\)

Analog berechnen wir hier die \(x\), für die \(-\frac12x^3+4\gt0\) ist - für die wir den \(\text{ln}\) also berechnen können. Beachte, dass man bei Ungleichungen das Ungleichheitszeichen umdrehen muss, wenn man mal oder geteilt durch eine negative Zahl rechnet \((2\gt1\), klar, aber \(-2\lt-1)\).

3. Beispiel

\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\)

Nebenrechnung

\(x^2+1\ge0\qquad\;\mid-1\)

\(\Leftrightarrow{x}^2\qquad\;\;\ge-1\)

Definitionsbereich

\(\Rightarrow{D}(f)=\mathbb{R}\)

Per Nebenrechnung bestimmen wir die \(x\), für die der Radikant (~ der Teil unter der Wurzel) größer gleich Null ist. Allerdings fällt dabei schnell auf, dass wir doch keine Einschränkung benötigen, denn \(x^2+1\) ist immer größer als Null! Wir müssen nichts ausschließen.

Zusammenfassung Definitionsbereich

➤ Der Definitionsbereich legt fest, welche Zahlen in die zugehörige Funktion überhaupt eingesetzt werden dürfen.

➤ Es gibt drei wesentliche Einschränkungen:

• Bei Brüchen darf der Nenner nicht Null sein

• (Quadrat-)Wurzeln dürfen nicht aus negativen Zahlen gezogen werden

• Der \(\ln\) ist nur für (echt) positive Zahlen definiert

➤ Falls die vorliegende Funktion keinen Bruch, keine Wurzel und keinen Logarithmus beinhaltet, so ist \(D(f)=\mathbb{R}\) - wir müssen also nichts einschränken!