Graph

Kapiteleintrag

Nachdem man die markanten Eigenschaften von \(f\) mittels Funktionsuntersuchung bestimmt hat, läßt sich endlich der zugehörige Graph zeichnen. Dazu überträgt man die Null-, Extrem- und Wendestellen in das Koordinatensystem und die Lage des Graphen sollte klar sein.

1. Beispiel

\(f(x)=\frac16x^3-2x+\frac83\)

Definitions- & Wertebereich

\(D(f)=\mathbb{R}\), \(W(f)=\mathbb{R}\)

Nullstellen

\(N_1(-4\mid0)\), \(N_2(2\mid0)\), \(N_y(0\mid\frac83)\)

Extrem- & Wendestellen

\(H(-2\mid\frac{16}{3})\), \(T(-2\mid0)\), \(W(0\mid\frac83)\)

Grenzwerte

\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\wedge\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)

Das Zeichnen selbst beginnt man am besten an Hoch-, bzw. Tiefpunkten, denn dort muss der Graph zu beiden Seiten fallen (bzw. steigen). Danach muss man noch die weiteren Punkte treffen, fertig ist der Graph! (klicke auf das Bild)

Um das Grenzwertverhalten zu verdeutlichen, kann man übrigens kleine Pfeile in das Koordinatensystem eintragen, besser ist es allerdings, sich diese nur vorzustellen.

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2. Beispiel

\(f(x)=x^2\cdot{e}^{-x}\)

Definitions- & Wertebereich

\(D(f)=\mathbb{R}\), \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\ge0\)

Nullstellen

\(N(0\mid0)=N_y(0\mid0)\)

Extrem- & Wendestellen

\(H(2\mid1{,}08)\), \(T(0\mid0)\)

\(W_1(0{,}59\mid0{,}48)\), \(W_2(3{,}41\mid0{,}77)\)

Grenzwerte

\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0\wedge\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty\)

Genau wie bei der ganzrationalen Funktion übertragen wir zuerst die berechneten Punkte in das Koordinatensystem (wer will zeichnet auch die Hilfspfeile für das Grenzwertverhalten ein) und verbinden diese anschließend zum Graphen.

Beachte, dass die e-Funktion extrem schnell große und kleine Werte annimmt, sie also einerseits schnell gegen Unendlich strebt (siehe Graph: schon bei \(x=-1\) verschwindet er aus dem Bild) und andererseits sich auch schnell der x-Achse (~der Null) nähert (bei \(x=8\) ist schon kein Unterschied mehr zu sehen).

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3. Beispiel

\(f(x)=\frac{6x^2-6}{x^3+x}\)

Definitions- & Wertebereich

\(D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(W(f)=\mathbb{R}\)

Polstelle bei \(x=0\)

\(l\lim\limits_{x\to0}f(x)=\infty\wedge{r}\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty\)

Nullstellen

\(N_1(-1\mid0)\), \(N_2(1\mid0)\)

Extrem- & Wendestellen

\(H(2{,}06\mid1{,}80)\), \(T(-2{,}06\mid-1{,}80)\)

\(W_1(-3{,}05\mid-1{,}58)\), \(W_2(3{,}05\mid1{,}58)\)

Grenzwerte

\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0\wedge\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\)

Diese gebrochenrationale Funktion ist nicht stetig, sie hat eine Polstelle bei \(x=0\) - dort können wir den Graphen also nicht verbinden, sondern er verläuft vielmehr in entgegengesetzte Richtung (siehe \(r\lim\to-\infty\) und \(l\lim\to\infty\)). Beginnen wir mit dem Teil links von der y-Achse: Vom Tiefpunkt aus steigt der Graph zu beiden Seiten, muss also nach rechts nurnoch die Nullstelle treffen und dann gegen die y-Achse streben. Nach links müssen wir die Wendestelle treffen, dort das Krümmungsverhalten ändern und uns anschließend der x-Achse (~der Null) nähern. (Die rechte Seite funktioniert analog, man kann auch die Punktsymmetrie des Graphen ausnutzen). Klick!

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