Wertebereich

Hier also eine Funktion (\(f(x)=x^2-3\)), bei der die Grenzwerte beidseitig gegen plus Unendlich laufen \((\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty)\), bei der wir den Wertebereich also berechnen müssen.

Wegen der Grenzwerte können also beliebig große Zahlen herauskommen, wir müssen jetzt allerdings die kleinstmögliche Zahl suchen. Im Bild sieht man, das der kleinste y-Wert beim Tiefpunkt \(T(0\mid-3)\) erreicht wird - nämlich \(y=-3\).

Der Wertebereich ist hier also \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\ge-3\).

Hier nun eine stetige Funktion, bei der beide Grenzwerte gegen minus Unendlich laufen. Wir suchen diesmal also den höchsten Punkt der Funktion und da das nur ein Hochpunkt sein kann, betrachten wir den höheren Hochpunkt \(H_2(2\mid6)\), bzw. seine y-Koordinate \(y=6\).

Da die Funktion natürlich nie höher ist, als dieser y-Wert, lautet der Wertebereich: \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\le6\).

Hier strebt die Funktion einseitig gegen plus Unendlich, sie kann also beliebig hohe Werte annehmen und wir suchen nur den kleinsten Wert. Da der andere Limes gegen Null strebt, müssen wir gucken, ob die Funktion zwischendurch noch kleinere Werte annimmt - wir betrachten also den Tiefpunkt mit seiner y-Koordinate \(0\). Dies ist der tiefste Punkt der Funktion, der Wertebereich ist entsprechend: \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\ge0\).

Beachte, dass der Grenzwert nur gegen \(0\) strebt, die Funktion selbst nimmt hier nie den y-Wert \(0\) an, der Wertebereich wäre \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt0\). Nur wegen des Tiefpunkts mit seiner y-Koordinate \(0\) ergibt sich das '\(\ge\)'.

Und? Ist hier jemand reingefallen?

Der Wertebereich dieser Funktion ist natürlich \(W(f)=\mathbb{R}\), denn die Limiten streben gegen plus und minus Unendlich. Bei dieser stetigen Funktion werden also unabhängig von den hässlichen Extrempunkten alle Werte angenommen!

Diese gebrochenrationale Funktion ist nicht stetig! Wir müssen den Wertebereich also Stück-für-Stück bestimmen, von Polstelle zu Polstelle.

Für \(x\lt-2\) ist \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\), denn \(l\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\infty\) (es können also beliebig hohe Werte hinauskommen) und \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1\), die Funktion strebt also (von oben) gegen \(1\) (sie erreicht sie nie, beachte \(\gt\), nicht \(\ge\)). Für \(x\gt2\) ist \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\), analog.

Für den Bereich zwischen \(-2\) und \(2\) (für \(-2\lt{x}\lt2\)) müssen wir noch den höchsten y-Wert ermitteln, denn aufgrund der gegen minus Unendlich strebenden Limiten können schonmal beliebig kleine Werte heraus kommen. Der höchste Punkt in diesem Bereich ist natürlich der Hochpunkt, mit seiner y-Koordinate \(y=0{,}25\). Daraus ergibt sich hier ein Wertebereich von \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\le0{,}25\) (beachte, dass der y-Wert \(0{,}25\) im Hochpunkt erreicht wird, es ist also \(y\le0{,}25\) und nicht \(y\lt0{,}25\).

Insgesamt können also Werte heraus kommen, die entweder größer als \(1\) sind (links von \(x=-2\), sowie rechts von \(x=2\)) oder kleiner gleich \(0{,}25\) - der Wertebereich ist \({W}(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\vee{y}\le0{,}25\)