\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}\)
Grenzwertverhalten \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=1\) \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1\)
Grenzwerte bei \(x=-2\) \(l\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\infty\wedge{r}\lim\limits_{x\to-2}f(x)=-\infty)\)
Grenzwerte bei \(x=2\) \(l\lim\limits_{x\to2}f(x)=-\infty\wedge{r}\lim\limits_{x\to2}f(x)=\infty)\)
Extremstellen \(HP_1(0\mid0{,}25)\) | Diese gebrochenrationale Funktion ist nicht stetig! Wir müssen den Wertebereich also Stück-für-Stück bestimmen, von Polstelle zu Polstelle. Für \(x\lt-2\) ist \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\), denn \(l\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\infty\) (es können also beliebig hohe Werte hinauskommen) und \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1\), die Funktion strebt also (von oben) gegen \(1\) (sie erreicht sie nie, beachte \(\gt\), nicht \(\ge\)). Für \(x\gt2\) ist \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\), analog. Für den Bereich zwischen \(-2\) und \(2\) (für \(-2\lt{x}\lt2\)) müssen wir noch den höchsten y-Wert ermitteln, denn aufgrund der gegen minus Unendlich strebenden Limiten können schonmal beliebig kleine Werte heraus kommen. Der höchste Punkt in diesem Bereich ist natürlich der Hochpunkt, mit seiner y-Koordinate \(y=0{,}25\). Daraus ergibt sich hier ein Wertebereich von \(W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\le0{,}25\) (beachte, dass der y-Wert \(0{,}25\) im Hochpunkt erreicht wird, es ist also \(y\le0{,}25\) und nicht \(y\lt0{,}25\). Insgesamt können also Werte heraus kommen, die entweder größer als \(1\) sind (links von \(x=-2\), sowie rechts von \(x=2\)) oder kleiner gleich \(0{,}25\) - der Wertebereich ist \({W}(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\vee{y}\le0{,}25\) |