Kurvendiskussion: e-Funktion

Diese Funktion hat weder ein \(x\) im Nenner, noch unter der Wurzel, noch im Logarithmus, wir müssen also nichts einschränken. Der Definitionsbereich ist somit \(\mathbb{R}\).

Diese nicht ganzrationale Funktion wird mit Hilfe der üblichen Symmetrietests überprüft. Hier ist \(f(-x)=f(x)\), die Funktion ist also achsensymmetrisch.

Bei der Nullstellenberechnung setzen wir die Funktion gleich Null und lösen auf. Da die e-Funktino allerdings nicht Null wird, gibt's hier keine Lösung (e hoch egal was ist ungleich Null!).

Für den Y-Achsenabschnitt bestimmen wir \(f(0)\) und mit \(e^0=1\) erhalten wir \(f(0)=5\).

Die erste Ableitung wird nach Kettenregel gebildet: Der Faktor \(5\) bleibt stehen und die e-Funktion wird nach Kettenregel abgeleitet (\(-x\) hinten ist die innere Ableitung).

Für die zweite Ableitung benötigen wir nun die Produktregel, denn die Funktion besteht nun aus einem Produkt, wobei jetzt beide Faktoren ein \(x\) enthalten. Es ist \(u=-5x\), \(u'=-5\) und \(v=e^{-\frac12x^2}\), also \(v'=e^{-\frac12x^2}\cdot(-x)\) (v' wieder mit Kettenregel). Nach dem Einsetzen fassen wir durch Ausklammern der e-Funktion zusammen.

Die dritte Ableitung funktioniert genau wie die zweite, wir benötigen Produkt- und Kettenregel. Mit \(u=e^{-\frac12x^2}\) ist \(u'=e^{-\frac12x^2}(-x)\), wie ja schon die ganze Zeit. Hier noch \(v=5x^2-5\) samt \(v'=10x\) bestimmen und alles einsetzen. Anschließend durch Ausklammern der e-Funktion und Ausmultiplizieren des ganzrationalen Teils zusammenfassen.

Für die Extremstellen bestimmen wir wie üblich die Lösungen der Gleichung \(f'(x)=0\) (notwendige Bedingung). Da hier ein Produkt gleich Null sein soll, setzen wir nach dem Satz vom Nullprodukt (SvN) die einzelnen Faktoren gleich Null und mit \(e^x\ne0\) erhalten wir nur links die Lösung \(x=0\).

Die hinreichende Bedingung liefert einen Hochpunkt, der zugehörige y-Wert ist \(5\).

Die notwendige Bedingung für Wendestellen lautet \(f''(x)=0\), wir lösen also diese Gleichung. Nach dem SvN müssen wir jeden Faktor gleich Null setzen, wobei der Faktor \(e^{-\frac12x^2}\) wieder nicht Null sein kann. Der ganzrationale Teil liefert die Lösungen \(x=\pm1\), unsere möglichen Wendestellen \((\mid+5\mid\div5\mid\sqrt{})\).

Die Kandidaten werden mit der hinreichenden Bedingung überprüft, hier sind beide Lösungen tatsächlich Wendestellen.

Anschließend noch die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen in \(f\) ermitteln, und wir können die Wendepunkte angeben.

Zusatz: Wegen der Achsensymmetrie von \(f\) hätte man sich ein paar Berechnungen sparen können, etwa die Bestimmung des zweiten y-Wertes oder die Überprüfung der zweiten Wendestelle.

Für \(x\to\infty\) erhalten wir im Exponenten der e-Funktion den Ausdruck \(-\frac12\cdot\infty^2\), dieser strebt gegen \(-\infty\) (große Zahl zum Quadrat ist positiv, diese mal minus ein halb ist negativ). Und da \(e^{-\infty}\to0\), ergeben sich die Limiten (für \(x\to-\infty\) erhält man im Exponent der e-Funktion auch \(-\infty\)).

Da \(f\) beidseitig gegen \(0\) läuft und \(H(0\mid5)\) der einzige Extrempunkt ist, können nur Werte zwischen \(0\) und \(5\) angenommen werden.

Beachte, dass die \(5\) im Hochpunkt erreicht wird \((y\le5)\), die Funktion aber nur gegen \(0\) strebt \((0\lt{y})\).