1. KPIM
  2. Kapitel
  3. Analysis
  4. Lösungsverfahren
  5. Die pq-Formel

Die pq-Formel

Nützliches

Musterbeispiel:

\({x}^{2}-4{x}+3=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-3}\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=2\pm\sqrt{1}\)

\(\Rightarrow{x}_{1}=2+1\vee{x}_{2}=2-1\)

\(\Rightarrow{x}_{1}=3\vee{x}_{2}=1\)

Hat man eine Gleichung der Form \({x}^{2}+p{x}+q=0\) so löst man mit pq-Formel durch Einsetzen von \(p\) und \(q\) \(.\)

Hier ist \(p=-4\) und \(q=3\) \(-\) setzt man das ein erhält man die Lösungen.

Musterbeispiel:

\({x}^{2}+2{x}+5=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=\frac{2}{2}\pm\sqrt{(\frac{2}{2})^{2}-5}\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=1\pm\sqrt{-4}\)

\(\Rightarrow\) keine Lösung

Wenn man beim Benutzen der pq-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl erhält, so hat die vorliegende Gleichung keine Lösung (denn man kann keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen).

Beachte, dass der Taschenrechner in einem solchen Fall >math Error< ausgibt. Bei >syntax Error< hingegen hast Du Dich beim Eintippen vertippt!

Musterbeispiel:

\({x}^{2}+2{x}+1=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{(\frac{2}{2})^{2}-1}\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=-1\pm\sqrt{0}\)

\(\Rightarrow{x}=-1\)

Erhält man unter der Wurzel die \(0{,}\) so liefert die pq-Formel nur eine Lösung (denn \(\sqrt{0}=0).\)

Musterbeispiel:

\({x}^{2}+4{x}-1=4{x}\)

\(\Leftrightarrow{x}^{2}-1=0\)

\(\Rightarrow{x}=1\vee{x}=-1\)

Achtung, diese Gleichung ist auf der rechten Seite nicht \(0\) \(-\) wir dürfen also nicht direkt nach pq-Formel lösen, sondern müssen erst alles von rechts nach links bringen.

Jetzt allerdings sehen wir, dass die Gleichung besser durch einfaches Umformen aufgelöst werden kann \((1\) rüberbringen und Wurzelziehen).

Wir erhalten die Lösungen \({x}=1\vee{x}=-1\) \(-\) ohne pq-Formel benutzt zu haben.

© Christian Wenning