Die pq-Formel

Kapiteleintrag

Die PQ-Formel wird zur Berechnung von sogenannten quadratischen Gleichungen benötigt. Sie ersetzt die (etwas umständlichere) Quadratische Ergänzung, denn erstere liefert sofort alle Lösungen der vorliegende Gleichung.

PQ-Formel

\(x^2+px+q=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}\)

Hat man also eine quadratische Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) so kann man mit Hilfe der pq-Formel die Lösungen bestimmen. Dazu liest man \(p\) (den Vorfaktor vom \(x\)) und \(q\) (die Zahl am Ende) ab und setzt in die Lösungsformel ein.

1. Beispiel

\(x^2+6x+8=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac62\pm\sqrt{(\frac62)^2-8}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-3\pm\sqrt{3^2-8}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-3\pm\sqrt{1}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-3\pm1\)

\(\Rightarrow{x}_1=-3+1\vee{x}_2=-3-1\)

\(\Rightarrow{x}_1=-2\vee{x}_2=-4\)

Da wir hier eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) vorliegen haben, können wir die PQ-Formel benutzen. Es ist \(p=6\) und \(q=8\). Das setzen wir jetzt einfach in die PQ-Formel ein und müssen nur noch ausrechnen (oder in den TR tippen)...

2. Beispiel

\(x^2-10x-24=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac{-10}{2}\pm\sqrt{(\frac{-10}{2})^2-(-24)}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=5\pm\sqrt{5^2+24}\)

\(x_{1\mid2}=5\pm\sqrt{49}\)

\(\Rightarrow{x}_1=12\vee{x}_2=-2\)

Hier ist \(p=-10\) und \(q=-24\) und wenn man mit den vielen Minuszeichen nicht durcheinanderkommt, so erhält man zuverläßig die Lösungen.

3. Beispiel

\(2x^2+8x+6=0\) \(\mid\div2\)

\(\Leftrightarrow{x}^2+4x+3=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac42\pm\sqrt{(\frac42)^2-3}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=2\pm\sqrt{1}\)

\(\Rightarrow{x}_1=3\vee{x}_2=1\)

Beachte, dass man die PQ-Formel nur dann richtig anwendet, wenn die vorliegende Gleichung auch die Form \(x^2+px+q=0\) hat (man nennt sie "Normalenform"). Das bedeutet, dass \(x^2\) keinen Vorfaktor haben darf und die Gleichung auch wirklich "gleich 0" sein muss. In diesem Beispiel wird der Vorfaktor \(2\) also vor dem Anwenden der PQ-Formel eliminiert.

4. Beispiel

\(x^2-\frac56x+1=\frac56\)

\(\Leftrightarrow{x}^2-\frac56x+\frac16=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac{-5}{12}\pm\sqrt{(\frac{-5}{12})^2-\frac16)}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=\frac{5}{12}\pm\sqrt{\frac{1}{144}}\)

\(\Rightarrow{x}_1=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\vee{x}_2=\frac{6}{12}=\frac12\)

Hier bringen wir erst die \(\frac56\) rüber, sonst ist die Gleichung nicht gleich Null! Danach setzen wir \(p=-\frac56\) und \(q=\frac16\) normal ein. Um Brüche zu halbieren kannst du entweder den Zähler halbieren (die Hälfte von zwei Dritteln ist ein Drittel) oder den Nenner verdoppeln (die Hälfte von \(\frac12\) ist \(\frac14\)).

5. Beispiel

\(x^2+4x+3=2x^2-2\)

\(\Leftrightarrow-x^2+4x+5=0\)

\(\Leftrightarrow{x}^2-4x-5=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{(\frac{-4}{2})^2-(-5)}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=2\pm\sqrt{9}\)

\(\Rightarrow{x}_1=5\vee{x}_2=-1\)

Wir subtrahieren die komplette rechte Seite, damit sie Null ist. Anschließend hat \(x^2\) den Vorfaktor \(-1\), welchen wir auch noch eliminieren. Dann die PQ-Formel.

Alle bis hierhin behandelten Beispiele hatten zwei Lösungen. Das ist immer nur dann der Fall, wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Andernfalls hat eine quadratische Gleichung nur eine Lösung, wenn unter der Wurzel die Null, und gar keine Lösung, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht. In diesem Zusammenhang noch schnell der Hinweis, dass natürlich auch \(x=1\pm\sqrt2\) zwei Lösungen der PQ-Formel sein können, die bis hierhin durchweg ganzzahligen Lösungen dienten nur dem besseren Verständnis. Auch hierzu noch einmal drei abschließende Beispiele:

6. Beispiel

\(x^2+4x+1=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{(\frac{4}{2})^2-1}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-2\pm\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow{x}_1\approx-3{,}73\vee{x}_2\approx-0{,}27\)

Nach dem Einsetzen in die PQ-Formel erhalten wir \(x_{1\mid2}=-2\pm\sqrt3\). Mit \(\sqrt3\approx1,73\) ergeben sich die Lösungen.

7. Beispiel

\(x^2+2x+1=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{(\frac{2}{2})^2-1}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-1\pm\sqrt{0}\)

\(\Rightarrow{x}=-1\)

Hier erhalten wir unter der Wurzel den Wert \(0\). Und da \(\sqrt0\) nur \(0\) ist, erhalten wir nur eine Lösung!

8. Beispiel

\(x^2+6x+13=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{(\frac{6}{2})^2-13}\)

\(\Rightarrow{x}_{1\mid2}=-3\pm\sqrt{-4}\)

Da der Radikand (der Wert unter der Wurzel) in diesem Beispiel negativ ist und man aus negativen Zahlen keine (Quadrat-) Wurzel ziehen kann, erhalten wir keine Lösung. Die Gleichung hat also keine Lösung!

Zusammenfassung PQ-Formel

➤ Die PQ-Formel wird zur Lösung quadratischer Gleichungen der Form \(x^2+px+q=0\) benutzt, wobei

• das \(x^2\) vorne keinen Vorfaktor haben darf

• die Gleichung auf der rechten Seite 0 sein muss.

➤ Die PQ-Formel kann je nach Gleichung zwei, eine oder gar keine Lösung liefern

• Zwei Lösungen, falls \(\sqrt{positive Zahl}\) (Beispiel 1-6)

• Eine Lösung, falls \(\sqrt{0}\) (Beispiel 7)

• Keine Lösung, falls \(\sqrt{negative Zahl}\) (Beispiel 8)

Die Zahl unter der Wurzel entscheidet also über die Anzahl der Lösungen; man nennt sie deshalb auch "Diskriminante" (von lat.: diskriminare = entscheiden).

Nützliches

zum Online-Test

Musterbeispiel Nr. 1

\({x}^{2}-4{x}+3=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-3}\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=2\pm\sqrt{1}\)

\(\Rightarrow{x}_{1}=2+1\vee{x}_{2}=2-1\)

\(\Rightarrow{x}_{1}=3\vee{x}_{2}=1\)

Hat man eine Gleichung der Form \({x}^{2}+p{x}+q=0\) so löst man mit pq-Formel durch Einsetzen von \(p\) und \(q\) \(.\)

Hier ist \(p=-4\) und \(q=3\) \(-\) setzt man das ein erhält man die Lösungen.

Musterbeispiel Nr. 2

\({x}^{2}+2{x}+5=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=\frac{2}{2}\pm\sqrt{(\frac{2}{2})^{2}-5}\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=1\pm\sqrt{-4}\)

\(\Rightarrow\) keine Lösung

Wenn man beim Benutzen der pq-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl erhält, so hat die vorliegende Gleichung keine Lösung (denn man kann keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen).

Beachte, dass der Taschenrechner in einem solchen Fall >math Error< ausgibt. Bei >syntax Error< hingegen hast Du Dich beim Eintippen vertippt!

Musterbeispiel Nr. 3

\({x}^{2}+2{x}+1=0\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{(\frac{2}{2})^{2}-1}\)

\(\Rightarrow{x}_{1|2}=-1\pm\sqrt{0}\)

\(\Rightarrow{x}=-1\)

Erhält man unter der Wurzel die \(0{,}\) so liefert die pq-Formel nur eine Lösung (denn \(\sqrt{0}=0).\)

Musterbeispiel Nr. 4

\({x}^{2}+4{x}-1=4{x}\)

\(\Leftrightarrow{x}^{2}-1=0\)

\(\Rightarrow{x}=1\vee{x}=-1\)

Achtung, diese Gleichung ist auf der rechten Seite nicht \(0\) \(-\) wir dürfen also nicht direkt nach pq-Formel lösen, sondern müssen erst alles von rechts nach links bringen.

Jetzt allerdings sehen wir, dass die Gleichung besser durch einfaches Umformen aufgelöst werden kann \((1\) rüberbringen und Wurzelziehen).

Wir erhalten die Lösungen \({x}=1\vee{x}=-1\) \(-\) ohne pq-Formel benutzt zu haben.