x-Ausklammern

Wie löst man Gleichungen durch x-Ausklammern?

Viele Gleichungen lassen sich durch Ausklammern lösen. Hier erfährst Du wie!

Entscheide, ob x ausgeklammert werden kann.

Du kannst Gleichungen immer dann mit x-Ausklammern lösen, wenn jeder Summand ein x enthält. Wenn eine Zahl ohne x auftaucht, benötigst Du ein anderes Lösungsverfahren.

Klammer x aus!

Wenn Du x ausklammern kannst, schreibe einfach "x mal Klammer auf" und nimm bei der Ursprungsgleichung überall ein x weg - aus 2x wird 2, aus x² wird x, aus x³ wird x², usw.

Benutze den Satz vom Nullprodukt.

Nach dem Ausklammern hast Du ein Produkt, das 0 sein soll - Du darfst also die einzelnen Faktoren gleich 0 setzen. Eine Lösung ist dann immer direkt x=0. Die andere Gleichung musst Du noch weiter auflösen, so dass Du ggf. noch weitere Lösungen erhältst.

Kapiteleintrag

Eine wichtige mathematische Frage lautet: Wann ist ein Produkt (\(x\cdot{y}\)) gleich Null? Die Antwort ist ebenso einfach wie wichtig: Ein Produkt ist dann gleich Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist (\(x=0\) oder \(y=0\)). Zum besseren Verständnis kann man sich zwei Zahlen überlegen, die multipliziert Null ergeben sollen. Es fällt schnell auf, dass bspw. \(3\cdot2\ne0\), aber \(0\cdot2=0\) oder \(3\cdot0=0\).

Satz vom Nullprodukt

\(x\cdot{y}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{y}=0\)

Mit Hilfe dieses wichtigen Satzes lassen sich viele Gleichungen sehr einfach lösen, sofern man den linken Term der Gleichung durch ein Produkt darstellen kann. Meistens - hauptsächlich bei ganzrationalen Funktionen - wird die Variable ausgeklammert, daher beschränke ich mich hier auch auf dieses Verfahren. Theoretisch kann man aber auch ganze Terme ausklammern und so ein Produkt herstellen. Wir berechnen vorerst ein einfaches Beispiel:

1. Beispiel

\(x^2-2x=0\)

\(\Leftrightarrow{x}\cdot(x-2)=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=2\)

Da jeder Summand ein \(x\) enthält, können wir ausklammern. Danach erhalten wir ein Produkt, und wir dürfen nach dem SvN die Faktoren einzeln gleich Null setzen - hier \(x\) selbst und \((x-2)\).

Wie man sieht ergibt sich die Lösung nach dem Ausklammern sofort, weshalb man dieses Verfahren wann immer möglich anwenden sollte. Das Ausklammern einer Variablen ist immer dann möglich, wenn jeder Summand mindestens ein \(x\) enthält, oder einfacher gesagt: "Wenn man keine Zahl hat". Ausklammern macht natürlich nur dann Sinn, wenn die Gleichung auch gleich Null ist, ansonsten greift oben genannter Satz nicht.

2. Beispiel

\(x^3-9x=0\)

\(\Leftrightarrow{x}(x^2-9)=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=3\vee{x}=-3\)

Wir klammern wieder \(x\) aus und setzen die beiden Faktoren gleich Null. Die rechte Gleichung muss mittels \(\mid+9\) und \(\mid\sqrt{ }\) weiter aufgelöst werden. Wir erhalten drei Lösungen.

3. Beispiel

\(x^3-9x+5=0\)

Hier läßt sich nicht sinnvoll ausklammern, da die \(5\) kein \(x\) enthält. Wir benötigen ein anderes Lösungsverfahren - welches an anderer Stelle erklärt wird ;).

Manchmal kann man \(x\) auch mehrmals, oder besser direkt \(x^2\), \(x^3\), \(x^4\) usw. ausklammern.

4. Beispiel | (schlechte Variante)

\(x^3+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow{x}(x^2+x)=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}(x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=0\vee{x}=-1\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=-1\)

Hier wird nur \(x\) ausgeklammert, so dass man nach dem ersten SvN rechts immernoch überall ein \(x\) hat und weiter ausklammern muss. Die doppelte Lösung \(x=0\) ist natürlich nur eine Lösung!

4. Beispiel | (gute Variante)

\(x^3+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow{x}^2(x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow{x}^2=0\vee{x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=-1\)

Viel schneller geht es, wenn man direkt mehrere \(x\) ausklammert: Da hier sogar jeder Summand \(x^2\) enthält, klammern wir das direkt aus. Allgemein entscheidet der kleinste Exponent, wieviele \(x\) man ausklammern kann.

Zusammenfassung x-Ausklammern

➤ das Ausklammern wird immer dann benötigt, wenn die vorliegende Gleichung in jedem Summanden ein \(x\), bzw. keine Zahl enthält.

➤ nach dem Ausklammern setzt man die einzelnen Faktoren gleich Null und muss ggf. die rechte Gleichung weiter auflösen.

➤ eine Lösung beim Ausklammern ist immer \(x=0\)

➤ der kleinste Exponent von \(x\) entscheidet, wieviele \(x\) man ausklammern kann.

➤ du solltest immer ausklammern, wenn es geht. Ein leichteres Verfahren gibt es nicht!

Nützliches

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zum Online-Test

Musterbeispiel: Standardverfahren

\({x}^{2}-2{x}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}({x}-2)=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}-2=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=2\)

Da in jedem Summanden ein \({x}\) vorkommt, klammern wir dieses aus.

Anschließend setzen wir die Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich \(0.\)

Links erhält man immer die Lösung \({x}=0\) \(-\) rechts muss mit entsprechenden Lösungsverfahren weiter aufgelöst werden.

Musterbeispiel: \({x}\) ausklammern

\(2{x}^{3}-8{x}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}\cdot(2{x}^{2}-8)=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee2{x}^{2}-8=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee2{x}^{2}=8\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}^{2}=4\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=2\vee{x}=-2\)

Da in jedem Summanden \({x}\) vorkommt, klammern wir dieses aus.

Links erhalten wir wie immer \({x}=0\) \(-\) rechts müssen wir noch eine Wurzel ziehen und erhalten insgesamt drei Lösungen.

Musterbeispiel: \({x}^{2}\) ausklammern

\({x}^{3}-3{x}^{2}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}^{2}\cdot({x}-3)=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}-3=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=3\)

Diese Gleichung enthält in jedem Summanden sogar \({x}^{2}\) \(-\) also klammern wir das aus.

Links erhalten wir wie immer die Lösung \({x}=0\) (zwar müssten wir noch die Wurzel ziehen, aber \(\sqrt{0}=0)\) \(-\) rechts formen wir noch nach \({x}\) um.