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  5. x-Ausklammern

x-Ausklammern

Wie löst man Gleichungen durch x-Ausklammern?
Viele Gleichungen lassen sich durch Ausklammern lösen. Hier erfährst Du wie!
Entscheide, ob x ausgeklammert werden kann.
Kann hier ausgeklammert werden?
Du kannst Gleichungen immer dann mit x-Ausklammern lösen, wenn jeder Summand ein x enthält. Wenn eine Zahl ohne x auftaucht, benötigst Du ein anderes Lösungsverfahren.
Klammer x aus!
x wird ausgeklammert
Wenn Du x ausklammern kannst, schreibe einfach "x mal Klammer auf" und nimm bei der Ursprungsgleichung überall ein x weg - aus 2x wird 2, aus x2 wird x, aus x3 wird x2, usw.
Benutze den Satz vom Nullprodukt.
Das Produkt wird aufgesplittet
Nach dem Ausklammern hast Du ein Produkt, das 0 sein soll - Du darfst also die einzelnen Faktoren gleich 0 setzen. Eine Lösung ist dann immer direkt x=0. Die andere Gleichung musst Du noch weiter auflösen, so dass Du ggf. noch weitere Lösungen erhältst.

Nützliches

Musterbeispiel: Standardverfahren

\({x}^{2}-2{x}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}({x}-2)=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}-2=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=2\)

Da in jedem Summanden ein \({x}\) vorkommt, klammern wir dieses aus.

Anschließend setzen wir die Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich \(0.\)

Links erhält man immer die Lösung \({x}=0\) \(-\) rechts muss mit entsprechenden Lösungsverfahren weiter aufgelöst werden.

Musterbeispiel: \({x}\) ausklammern

\(2{x}^{3}-8{x}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}\cdot(2{x}^{2}-8)=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee2{x}^{2}-8=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee2{x}^{2}=8\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}^{2}=4\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=2\vee{x}=-2\)

Da in jedem Summanden \({x}\) vorkommt, klammern wir dieses aus.

Links erhalten wir wie immer \({x}=0\) \(-\) rechts müssen wir noch eine Wurzel ziehen und erhalten insgesamt drei Lösungen.

Musterbeispiel: \({x}^{2}\) ausklammern

\({x}^{3}-3{x}^{2}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}^{2}\cdot({x}-3)=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}-3=0\)

\(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=3\)

Diese Gleichung enthält in jedem Summanden sogar \({x}^{2}\) \(-\) also klammern wir das aus.

Links erhalten wir wie immer die Lösung \({x}=0\) (zwar müssten wir noch die Wurzel ziehen, aber \(\sqrt{0}=0)\) \(-\) rechts formen wir noch nach \({x}\) um.

Musterbeispiel: Gleichung nicht \(0\)

\({x}^{3}+{x}=1\)

\(\Leftrightarrow{x}^{3}+{x}-1=0\)

\(\Rightarrow\) nicht Ausklammern

Da die vorliegende Gleichung rechts nicht \(0\) ist, können wir nicht direkt ausklammern, sondern bringen zuerst alles von rechts nach links.

Jetzt enthält allerdings nicht mehr jeder Summand ein \({x}\) \(-\) die Gleichung läßt sich also nicht durch Ausklammern lösen.

Video: x-Ausklammern 1v2

© Christian Wenning