Etwa ist der Zusammenhang Anzahl Bonbons \(\leftrightarrow\) Preis proportional, denn doppelt so viele Bonbons sind natürlich doppelt so teuer (dreimal so viele sind dreimal so teuer, zehnmal so viele zehnmal, usw.).
Ein Zusammenhang ist proportional, wenn eine Vervielfachung der Ausgangsgröße dieselbe Vervielfachung der zugeordneten Größe verursacht.
Etwa ist der Zusammenhang Anzahl Bonbons \(\leftrightarrow\) Preis proportional, denn doppelt so viele Bonbons sind natürlich doppelt so teuer (dreimal so viele sind dreimal so teuer, zehnmal so viele zehnmal, usw.).
Ein Zusammenhang ist antiproportional, wenn eine Vervielfachung der Ausgangsgröße die zugeordneten Größe um diesen Faktor verringert.
Etwa ist der Zusammenhang Anzahl Kinder \(\leftrightarrow\) Tortenstücke je Kind antiproportional, denn bei doppelt so vielen Kindern, bekommt jedes Kind nurnoch halb so viele Stücke (dreimal so viele Kinder, dreimal so wenig Stücke, usw.).
Je mehr, desto (gleichmäßig) mehr!
Je mehr, desto (gleichmäßig) weniger!
Betrachten wir dazu jeweils ein Beispiel.
Quotientengleichheit \(2,00\div5=0,40\) \(4,00\div10=0,40\) \(12,00\div30=0,40\) \(120,00\div300=0,40\) | Wie bereits oben angesprochen, ist der Zusammenhang >Anzahl Bonbons → Preis< proportional. Man erkennt dies anhand der Merksätze - denn hier gilt natürlich: "Je mehr Bonbons, desto mehr Geld" muss man bezahlen. |
Um den Graphen zu zeichnen, überträgt man die Punkte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem und verbindet sie zum Graphen. Wie hier zu sehen, sind Graphen von proportionalen Zusammenhängen stets Ursprungsgeraden. Dass das so ist, wird schnell klar: Zum einen kosten 0 Bonbons natürlich 0 Euro - alle proportionalen Zusammenhänge gehen also durch den Ursprung. Zum anderen kostet jedes (weitere) Bonbon ja 0,40EUR (mehr) - geht man also im Graphen eine Einheit nach rechts, so wird der Graph um 0,40 erhöht - die Steigung beträgt also 0,40 (und ist überall gleich groß).
Produktgleichheit \(1\cdot24=24\) \(2\cdot12=24\) \(6\cdot4=24\) \(24\cdot1=24\) | Hier nun ist der Zusammenhang >Anzahl Kinder → Stücke je Kind< antiproportional - es gilt der Merksatz "Je mehr Kinder, desto weniger Stücke (jeweils)". |
Um den Graphen zu zeichnen, überträgt man die Punkte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem und verbindet sie zum Graphen. Wie hier zu sehen, sind Graphen von proportionalen Zusammenhängen Hyperbeln der Form \(f(x)=\frac{a}{x}\), wobei \(a\) über das Produkt aus einem beliebigen Wertepaar ermittelt werden kann.
Um bei einer gegebenen Wertetabelle zu entscheiden, ob es sich um einen proportionalen, bzw. antiproportionalen Zusammenhang handeln kann, überprüft man also die Quotienten, bzw. die Produkte aus allen \(x\) und \(y\) Werten der Wertetabelle: Sind alle Quotienten gleich groß, so ist der Zusammenhang proportional - bei gleich großen Produkten hingegen antiproportional.
Ist folgender Zusammenhang proportional oder antiproportional? Gib ggf. die Funktionsvorschrift an!
| Um zu entscheiden, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist, überprüfen wir die Quotienten \(\frac{y}{x}\), bzw. die Produkte \(x\cdot{y}\). \(\frac42=2\) \(\frac{10}5=2\) \(\frac{26}{13}=2\) \(\frac{42}{21}=2\) Da alle Quotienten gleich groß sind, handelt es sich um einen proportionalen Zusammenhang. Da der Wert des Quotienten die Steigung der zugehörigen (Ursprungs-)Geraden ist, lautet die Funktionsvorschrift: |
Ist folgender Zusammenhang proportional oder antiproportional? Gib ggf. die Funktionsvorschrift an!
| Um zu entscheiden, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist, überprüfen wir die Quotienten \(\frac{y}{x}\), bzw. die Produkte \(x\cdot{y}\). \(4\cdot18=72\) \(6\cdot12=72\) \(8\cdot9=72\) \(24\cdot3=72\) Da alle Produkte gleich groß sind, handelt es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang. Da der Wert des Produkts den Zähler der zugehörigen Funktion \(f(x)=\frac{a}{x}\) ist, lautet die Funktionsvorschrift: |
Ist folgender Zusammenhang proportional oder antiproportional? Gib ggf. die Funktionsvorschrift an!
| Um zu entscheiden, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist, überprüfen wir die Quotienten \(\frac{y}{x}\), bzw. die Produkte \(x\cdot{y}\). \(\frac{36}3=12\) \(\frac{60}5=12\) \(\frac{104}8=13\) ... können hier allerdings bereits aufhören, da bereits jetzt nicht alle Quotienten gleich groß sind, der Zusammenhang also nicht mehr proportional sein kann. \(36\cdot3=108\) \(60\cdot5=300\) ... und wieder nichts! |
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?