Schnittpunkte

Kapiteleintrag

Schnittpunkte

Bei Schnittpunkten sind Funktionen gleich - wir bestimmen die Schnittstellen also durch Gleichsetzen der Funktionen.

Schnittstellen

\(f(x)=g(x)\)

\(\Leftrightarrow{x}=x_1\vee{x}=x_2\vee\text{ }...\text{ }\vee{x}=x_n\)

\(\Rightarrow{f}\text{ schneidet }g\text{ bei }x_1\text{, }x_2\text{, }...\text{ , }x_n\)

Um die vollständigen Schnittpunkte angeben zu können, muss man noch die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen in eine der Funktionen berechnen (bei Schnittpunkten sind die Funktionen wie gesagt gleich - es ist also egal, ob man die y-Werte mit \(f\) oder \(g\) bestimmt. Hier wird das mit \(f\) gemacht).

Schnittpunkte

\({f}\text{ schneide }g\text{ bei }x_1\text{, }x_2\text{, }...\text{ und }x_n\)

\(\Rightarrow{S}_1\left(x_1\mid{f}(x_1)\right)\text{, }S_2(x_2\mid{f}(x_2))\text{, }...\text{, }S_n(x_n\mid{f}(x_n))\)

1. Beispiel

\(f(x)=x^2\)

\(g(x)=x+2\)

Schnittstellen

\(f(x)=g(x)\)

\(\Rightarrow{x}^2=x+2\qquad\qquad\;\;\mid-x-2\)

\(\Leftrightarrow{x}^2-x-2=0\qquad\mid\;\,\text{PQ-Formel}\)

\(\Leftrightarrow{x}=-1\vee{x}=2\)

Zugehörige y-Werte

\(f(-1)=(-1)^2=1\Rightarrow{S}_1(-1\mid1)\)

\(f(2)=2^2=4\Rightarrow{S}_2(2\mid4)\)

Hier dann die Schnittpunkte unserer Beispielfunktionen.

Für die Schnittstellen setzen wir die Funktionen also gleich und lösen auf.

Anschließend ermitteln wir die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen der Schnittstellen in z.B. \(f\), fertig!

Rezept zur Berechnung der Schnittpunkte

➤ Setze die Funktionen gleich und löse auf. Du erhälst die Schnittstellen (x-Werte).

➤ Setze die gefundenen Stellen in eine der Funktionen ein, um die zugehörigen y-Werte zu bestimmen.

2. Beispiel

\(f(x)=x^3e^{-x}\)

\(g(x)=(5x^2-4x)e^{-x}\)

Schnittstellen

\(f(x)=g(x)\)

\(\Rightarrow{x}^3e^{-x}=(5x^2-4x)e^{-x}\)

\(\Leftrightarrow{x}^3e^{-x}-(5x^2-4x)e^{-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\;\;\,\qquad(x^3-5x^2+4x)e^{-x}=0\)

\(\Rightarrow{x}^3-5x^2+4x\;=0\vee{e}^{-x}=0\)

\(\Leftrightarrow{x}(x^2-5x+4)=0\wedge{e}^{-x}\ne0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}^2-5x+4=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=1\vee{x}=4\)

y-Werte

\(f(0)=0^3e^{-0}=0\Rightarrow{S}_1(0\mid0)\)

\(f(1)=1^3e^{-1}\approx0{,}368\Rightarrow{S}_2(1\mid0{,}368)\)

\(f(4)=4^3e^{-4}\approx1{,}172\Rightarrow{S}_3(4\mid1{,}172)\)

Wir lösen die Gleichung \(f(x)=g(x)\). Am besten bringst du immer alles von rechts nach links, damit wir rechts stets \(0\) erhalten und das Lösungsverfahren erkennen können. Hier muss erst die e-Funktion und danach \(x\) selbst ausgeklammert werden. Anschließend noch PQ-Formel, wir erhalten drei Schnittstellen von denen wir noch die y-Werte bestimmen.

3. Beispiel

\(f(x)=\frac12x^2+x-\frac12\)

\(g(x)=\frac1x\)

Schnittstellen

\(f(x)=g(x)\)

\(\Rightarrow\frac12x^2+x-\frac12=\frac1x\quad\quad\mid\cdot{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac12x^3+x^2-\frac12x=1\quad\quad\mid-1\quad\quad\mid\cdot(-2)\)

\(\Leftrightarrow{x}^3+2x^2-x-2=0\)

Lösung raten

\(x=1\rightarrow1^3+2\cdot1^2-1-2=0\) \((w)\)

Polynomdivision

\((x^3+2x^2-x-2)\div(x-1)=x^2+3x+2\)

restliche Lösungen

\(\Rightarrow{x}^2+3x+2=0\) \(\mid{PQ}-Formel\)

\(\Leftrightarrow{x}=-2\vee{x}=-1\) \((\wedge{x}=1)\)

y-Werte

\(g(1)=\frac11=1\Rightarrow{S}_1(1\mid1)\)

\(g(-1)=\frac{1}{-1}=-1\Rightarrow{S}_2(-1\mid-1)\)

\(g(-2)=\frac{1}{-2}=-\frac12\Rightarrow{S}_3(-2\mid-\frac12)\)

Beim Gleichsetzen der Funktionen fällt auf, dass rechts \(x\) im Nenner ist - wir müssen die Gleichung also zuerst mit \(x\) multiplizieren. Anschließend sieht's wieder recht normal aus, allerdings brauchen wir hier die Polynomdivision.

Schließlich berechnet man wie immer noch die zugehörigen y-Werte und kann die Schnittpunkte angeben.