Das Dreieck

Kapiteleintrag

Das Dreieck

\(A=\frac{g\cdot{h}}2\)

\(U=a+b+c\)

Grundseiten und Höhen

\(A=\frac{g\cdot{h}}2\)

\(\Rightarrow{A}=\frac{c\cdot{h_c}}2\)

\(\Rightarrow{A}=\frac{b\cdot{h_b}}2\)

\(\Rightarrow{A}=\frac{a\cdot{h_a}}2\)

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet \(A=\frac{g\cdot{h}}2\) - also Grundseite mal Höhe durch zwei.

Nun darf man eine der drei Seiten als Grundseite wählen, muss dann aber die zugehörige Höhe in die Formel einsetzen (etwa \(c\) als Grundseite, dann ist \(h_c\) die zugehörige Höhe).

Die Höhe (oder auch das Lot) verläuft stets senkrecht zur betrachteten Grundseite und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.

Aufgrund dieser Überlegungen gibt es sozusagen drei Formeln zur Berechnung von Dreiecks-Flächeninhalten - merke Dir allerdings lediglich "Grundseite mal Höhe durch zwei".

1. Beispiel

\(A=\frac{g\cdot{h}}2\)

\(\Rightarrow{A}=\frac{12\cdot{3,4}}2=20,4cm^2\)

\(U=a+b+c\)

\(\Rightarrow{U}=4+10+12=26cm\)

Hier sind alle benötigten Größen angegeben - sowohl eine Grundseite samt zugehöriger Höhe für die Fläche, als auch alle Seitenlängen für den Umfang.

Wir setzen das also lediglich in die Formeln ein und sind fertig.

2. Beispiel

\(A=\frac{g\cdot{h}}2\)

\(\Rightarrow{A}=\frac{12\cdot{9}}2=54cm^2\)

Nebenrechnung

\(12^2+9^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow{a}=15cm\)

Umfang

\(U=a+b+c\)

\(\Rightarrow{U}=15+9+12=36cm\)

Bei rechtwinkligen Dreiecken sind die beiden Katheten Grundseite und Höhe - sie stehen ja gerade senkrecht aufeinander. Um die Fläche zu bestimmen, setzen wir diese also in die bekannte Formel ein.

Für den umfang benötigen wir hier noch die dritte Seitenlänge - gut, dass in rechtwinkligen Dreiecken Pythagoras erlaubt ist!

3. Beispiel

Fläche

\(A=\frac{c\cdot{h_c}}2\)

Nebenrechnung

\(\sin\left(38^{\circ}\right)=\frac{h_c}8\Leftrightarrow{h_c}\approx4,93cm\)

Fläche

\({A}=\frac{3\cdot4,93}2\approx7,39cm^2\)

Umfang

\(U=a+b+c\)

Nebenrechnungen

\({c_{ges}}^2+h_c^2=b^2\)

\(\Rightarrow{c_{ges}}^2+4,93^2=8^2\)

\(\Leftrightarrow{c_{ges}}\approx6,3cm\)

\(x=c_{ges}-c=6,3-3=3,3cm\)

\(x^2+h_c^2=a^2\)

\(\Rightarrow3,3^2+4,93^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow{a}\approx5,93cm\)

Umfang

\(U=a+b+c\)

\(\Rightarrow{U}=5,93+8+3=16,93cm\)

Alternativ: \(a\) via Kosinussatz

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)\)

\(\Rightarrow{a}^2=8^2+3^2-2\cdot8\cdot3\cdot\cos\left(38^{\circ}\right)\)

\(\Leftrightarrow{a}\approx5,93\)

Bei diesem Dreieck ist zwar keine Höhe, dafür aber der Winkel \(\alpha\), mitsamt den einschließenden Seiten gegeben.

Um die Fläche berechnen zu können, müssen wir also zuvor eine Höhe - etwa \(h_c\) - bestimmen.

Zeichnet man diese Höhe ein (sie ist außerhalb des Dreiecks - Maus übers Bild), erkennt man zwei rechtwinklige Dreiecke (das rote und das lilane). Mit dem gegeben Winkel \(\alpha\) können wir die Höhe \(h_c\) also mit Hilfe trigonometrischer Beziehungen im roten Dreieck berechnen. Da die Höhe aus Sicht des Winkels die Gegenkathete ist, berechnen wir \(h_c\) mittels Sinus.

Für den Umfang benötigen wir noch die Länge der Seite \(a\) - da unser Ausgangsdreieck aber nicht rechtwinklig ist, gelten in diesem Dreieck weder Pythagoras, noch die trigonometrischen Formeln (allerdings könnte man den Sinus-, bzw. Kosinussatz anwenden).

Wir ermitteln a also auch über die rechtwinkligen Dreiecke, die durch die Höhe entstanden sind: Dazu bestimmen wir zuerst die zweite Kathete des roten Dreiecks (die Strecke \(c+x\)) - bestimmen daraus kurz das \(x\), und können so im lila Dreieck endlich die Seite a ermitteln.

Mit Hilfe de rtrigonometrischen Beziehungen lassen sich folgende (alternative) Formeln zur Berechnung der Fläche eines beliebigen Dreiecks finden. Der Hauptunterschied dieser Formeln (zu den normalen Flächeninhaltsformeln von Dreiecken) besteht insbesondere darin, dass man statt Höhe und Grundseite nun zwei Seiten samt einschließendem Winkel kennen muss. Insbesondere bei unserem letzten Beispiel wäre es also besser, diese Formeln zu benutzen (s.u.).

Fläche eines Dreiecks mit Sinus

\(A=\frac12\cdot{a}\cdot{b}\cdot\sin(\gamma)\)

\(A=\frac12\cdot{b}\cdot{c}\cdot\sin(\alpha)\)

\(A=\frac12\cdot{a}\cdot{c}\cdot\sin(\beta)\)

3. Beispiel - Alternative zur Fläche

\(A=\frac12\cdot{b}\cdot{c}\cdot\sin(\alpha)\)

\(\Rightarrow{A}=\frac12\cdot8\cdot3\cdot\sin\left(38^{\circ}\right)\approx7,39cm^2\)

Da das Einsetzen der gegebenen Größen in die Formel nicht sonderlich spannend ist, hier folgende Anmerkung:

Wir sehen schnell, warum die alternativen Formeln zur Flächenberechnung stimmen: Oben haben wir die Höhe ja via trigonometrischer Berechnungen per Hand bestimmt. Dazu haben wir die Formel \(\sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}{b}\) nach \(h_c\) umgestellt - also \(h_c=b\cdot\sin(\alpha)\).

Setzt man nun einfach den umgestellten Term in die normale Flächeninhaltsformel, ergibt sich sofort die Alternativformel:

\(A=\frac12\cdot{c}\cdot{h}_c\) und \(h_c=b\cdot\sin(\alpha)\)

\(\Rightarrow{A}=\frac12\cdot{c}\cdot{b}\cdot\sin\left(\alpha\right)\)

PS: Für den Umfang müsste man die fehlende Seite wie oben berechnen - dazu haben wir hier aber keine Lust mehr.. :)