Das Parallelogramm

Kapiteleintrag

Das Parallelogramm

\(A=a\cdot{h}\)

\(U=2a+2b\)

Betrachtet man beim Parallelogramm die Formeln für Flächeninhalt und Umfang, so fällt auf, dass sie verschiedene Variablen beinhalten: Insbesondere braucht man für die Fläche die (senkrechte) Höhe \(h\), und für den Umfang die (schräge) Seitenlänge \(b\). Leider gehen diese Größen nicht auseinander hervor - ohne weiterer Angaben läßt sich etwa die Höhe \(h\) nicht allein aus \(b\) bestimmen: Betrachte dazu das rechtwinklige Dreieck links der Höhe, mit \(b\) als Hypotenuse. Da man die zweite Kathete - das kleine Stück auf der Grundseite \(a\) - nicht kennt, kann man weder die Höhe aus \(b\), noch \(b\) aus der Höhe ermitteln (bewege die Maus über das Bild oben).

1. Beispiel

\(A=a\cdot{h}\Rightarrow{A}=8\cdot4=32cm^2\)

\(U=2a+2b\Rightarrow{U}=2\cdot8+2\cdot5=26cm\)

Da alle Variablen für die Formeln für Fläche und Umfang gegeben sind, setzen wir sie einfach ein und erhalten sofort die gesuchten Größen.

2. Beispiel

\(A=a\cdot{h}\)

\(\Rightarrow{70}=a\cdot7\)

\(\Leftrightarrow{a}=10m\)

\(U=2a+2b\)

\(\Rightarrow{38}=2\cdot10+2\cdot{b}\)

\(\Leftrightarrow{b}=9m\)

Da weder \(a\) noch \(b\) gegeben sind, können wir mit Hilfe der Umfangsformel keine Variable ermitteln (da wir immernoch zwei Unbekannte haben). Mit der gegebenen Höhe können wir aber aus der Flächeninhaltsformel die Grundseite \(a\) bestimmen.

Anschließend setzen wir diese Seitenlänge zusammen mit dem gegebenen Umfang in die Umfangsformel ein und können so die schräge Seitenlänge \(b\) bestimmen.

Abschließend noch zwei Beispiele, bei denen die Höhe bzw. die schräge Seitenlänge \(b\) über das oben angesprochene, rechtwinklige Dreieck links der Höhe ermittelt wird. Dies ist entweder mit gegebenem Anstiegswinkel (mittels trigonometrischer Beziehungen) möglich, oder via Pythagoras, wenn das kleine Stück auf der Grundseite bekannt ist.

3. Beispiel

\(A=a\cdot{h}\Rightarrow{A}=6\cdot5=30m^2\)

\(\sin\left(75^{\circ}\right)=\frac{5}{b}\)

\(\Leftrightarrow{b}=\frac{5}{\sin\left(75^{\circ}\right)}\approx5,18m\)

\(U=2a+2b\)

\(\Rightarrow{U}=2\cdot6+2\cdot5,18=22,36m\)

Mit gegebener Höhe \(h\) und Seitenlänge \(a\) können wir die Fläche ohne Probleme ermitteln.

Für den Umfang benötigen wir allerdings die schräge Seitenlänge \(b\) - welche wir zuvor ermitteln müssen.

Da wir im rechtwinkligen Dreieck links der Höhe allerdings den Anstiegswinkel kennen, können wir mit trigonometrischen Beziehungen die Länge \(b\) bestimmen (bewege die Maus übers Bild).

Nun ist aus Sicht des gegebenen Winkels die Höhe Gegenkathete - und wir suchen die Hypotenuse - ergo wählen wir den Sinus (Gegenkathete durch Hypotenuse).

Mit ermitteltem \(b\) ist der Umfang nun leicht zu bestimmen.

4. Beispiel

\(a=a_1+a_2=2+4,5=6,5m\)

\(U=2a+2b\)

\(\Rightarrow{U}=2\cdot6,5+2\cdot5=23m\)

\(5^2=2^2+h^2\)

\(\Leftrightarrow{h}=\sqrt{5^2-2^2}\approx4,58m\)

\(A=a\cdot{h}\)

\(\Rightarrow{A}=6,5\cdot{4,58}\approx29,79m^2\)

In diesem Beispiel ist angegeben, wie die Höhe die Grundseite teilt. Da wir für den Umfang die komplette Grundseite benötigen, addieren wir zuvor die gegebenen Teilstücke.

Für die Fläche ben&oumL;tigen wir zusätzlich die Höhe - hier kennen wir im rechtwinkligen Dreieck links der Höhe allerdings neben der Hypotenuse \(b\) auch das kleine Teilstück der Grundseite \(a_1=2m\) (bewege die Maus übers Bild). Die Höhe läßt sich also mit Pythagoras ermitteln.

Und mit der Höhe \(h\approx4,58m\) können wir schließlich die Fläche bestimmen.