Pythagoras

Kapiteleintrag

Der Satz des Pythagoras

\(\text{ABC ist rechtwinklig mit }\gamma=90^{\circ}\Leftrightarrow{a}^2+b^2=c^2\)

In Worten

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der quadrierten Katheten
gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
(und andersrum)
Wenn die Summe der quadrierten Katheten gleich dem Quadrat
der Hypotenuse ist, so ist das Dreieck rechtwinklig.

Mit Hilfe des Satz des Pythagoras läßt sich in rechtwinkligen Dreiecken die fehlende Größe berechnen, wenn zwei der drei Seitenlängen bekannt sind. Da der Satz selbst (\(a^2+b^2=c^2\)) so gut wie jedem bekannt ist, hier nur zwei vielleicht weniger bekannte Anmerkungen:

1. Auch die Umkehrung des Satz des Pythagoras stimmt (beachte das Äquivalenzzeichen): Wenn \(a^2+b^2=c^2\) gilt, so ist das Dreieck ABC rechwinklig mit \(\gamma=90^{\circ}\).

2. Der Satz des Pythagoras ist nicht von Pythagoras (er hat den bereits zuvor entdeckten Satz lediglich schriftlich festgehalten und in seiner Schule vermittelt)!

Gut, zwar stimmt die zweite Anmerkung, aber bevor wir uns weiter in irrelevanten Anekdoten verlieren, stürzen wir uns lieber auf einen sehr eleganten Beweis:

Beweis: Satz des Pythagoras

\(A_{\text{großes Quadrat}}=4\cdot{A}_{\text{Dreieck}}+A_{\text{blaues Quadrat}}\)

\(\Rightarrow{A}_{\text{großes Quadrat}}=4\cdot\frac12\cdot{a}\cdot{b}+c^2\)

\(\Leftrightarrow{A}_{\text{großes Quadrat}}=2ab+c^2\;\;\;(I)\)

\(A_{\text{großes Quadrat}}=(a+b)^2\)

\(\Leftrightarrow{A_{\text{großes Quadrat}}}=a^2+2ab+b^2\;\;\;(II)\)

aus \((I)\) und \((II)\) folgt:

\(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\;\;\mid-2ab\)

\(\Leftrightarrow{a}^2+b^2=c^2\)

Der Trick bei diesem Beweis ist, dass man die Fläche des großen Quadrats auf zwei verschiedene Weisen berechnen, und diese also später gleichsetzen kann.

Zum einen besteht das große Quadrat aus vier kleinen rechtwinkligen Dreiecken und dem blauen Quadrat in der Mitte. Setzen wir dazu jeweils die Flächeninhaltsformeln ein, erhalten wir eine erste Gleichung für die Fläche des großen Quadrats (I).

Zum anderen bestimmt man die Fläche eines Quadrats, indem man die Seitenlänge quadriert - hier ist die Seitenlänge die Summe aus \(a\) und \(b\), die Fläche des großen Quadrats also \(A=(a+b)^2\) (II).

Setzt man beide Formeln gleich, erhält man nach einer Umformung den Satz des Pythagoras.

Anmerkung:
Beachte, dasss wir hier nur eine Richtung des satz des Pythagoras bewiesen haben, nämlich dass in rechtwinkligen Dreiecken \(a^2+b^2=c^2\) gilt. Um die Äquivalenz zu beweisen, müssten wir noch die Umkehrung (aus \(a^2+b^2=c^2\) folgt \(ABC\) ist rechtwinklig mit \(\gamma=90^{\circ}\)) zeigen - worauf wir hier allerdings verzichten.

Dann berechnen wir mal ein paar Beispiele:

1. Beispiel

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\Rightarrow6^2+8^2=c^2\)

\(\Leftrightarrow{c}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10m\)

Da mit \(c\) die Hypotenuse unbekannt ist, addieren wir die Quadrate der Katheten und ziehen anschließend die Wurzel. Da die Rechnung an sich wohl recht gut verständlich ist, hier nur ein kleiner Hinweis:

Die Wurzel aus \(6^2+8^2\) ist NICHT \(6+8=14\). Man darf die Wurzel nicht über jeden Summanden schreiben (so dass Wurzel und Quadrate wegfallen würden).

Vielmehr ist \(\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).

2. Beispiel

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\Rightarrow{a}^2+12^2=13^2\)

\(\Leftrightarrow{a}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5m\)

Hier ist nun eine Kathete unbekannt. Natürlich setzen wir wieder beide bekannten Größen ein und stellen nach der dritten frei. Hier erhalten wir unter der Wurzel eine Differenz - die wir übrigens auch vor dem Wurzelziehen erst ausrechenen müssen.

Oft ist der Satz des Pythagoras hilfreich um bei rechtwinkligen Figuren unbekannte Größen zu ermitteln. Dazu muss man stets rechtwinklige Dreiecke finden - in denen man den Satz des Pythagoras anwenden darf.

3. Beispiel

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a=7m\)?

\(a^2+a^2=d^2\)

\(\Rightarrow{7}^2+7^2=d^2\)

\(\Leftrightarrow{d}=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}\approx9,9m\)

Da die Seiten eines Quadrats rechtwinklig aufeinander stehen, bilden sie zusammen mit der Diagonalen ein rechtwinkliges Dreieck - wir dürfen also den Satz des Pythagoras benutzen.

In dem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten beide \(a=7m\) lang, wir berechnen die Diagonale (die Hypotenuse) also mit \(d=\sqrt{7^2+7^2}\).

Übrigens läßt sich auf diese Weise auch eine allgemeine Formel zur Bestimmung der Diagonalen eines Quadrats herleiten: Wegen \(d^2=a^2+a^2\) ist \(d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt2\cdot{a}\).

Und siehe da - mit \(d=\sqrt2\cdot7\) erhalten wir wieder \(d\approx9,9m\).

4. Beispiel

Wie lang ist die Raumdiagonale eines Quaders mit den Seitenlängen \(a=5cm\), \(b=4,8cm\) und \(c=6cm\)?

Ansatz:

\(r^2=d^2+6^2\)

Nebenrechnung

\(d^2=5^2+4,5^2\)

\(\Leftrightarrow{d}=\sqrt{5^2+4,8^2}\approx6,93cm\)

Raumdiagonale

\(r^2=d^2+6^2\)

\(\Rightarrow{r}^2=6,93^2+6^2\)

\(\Leftrightarrow{r}=\sqrt{6,93^2+6^2}\approx9,17cm\)

Wieder besteht die Lösung darin, rechtwinklige Dreiecke zu finden, bei denen eine Seite die gesuchte Größe ist.

Leider kennen wir von dem (rechtwinkligen) Raumdreieck, bei dem die Raumdiagonale vorkommt aber nur die Länge einer Kathete - nämlich \(c=6cm\) (bewege die Maus übers Bild - das orangene Dreieck). Wir benötigen also erst die andere Kathete - unten die Diagonale \(d\) des Bodens.

Die Bodendiagonale \(d\) wiederum ist die Hypotenuse eines zweiten rechtwinkligen Dreiecks, hier mit den gegebenen Größen \(a\) und \(b\) als Katheten (das gelbe Dreieck). Ergo berechnen wir auf diese Weise erst unten die Diagonale \(d\) und anschließend die gesuchte Raumdiagonale \(r\).

Anmerkung: Bestimmt man die Raumdiagonale \(r\) übrigens auf diese Weise allgemein (z.B. in Abhängigkeit von der Länge \(x\), Breite \(y\) und Höhe \(z\), so erhält man:

\(d=\sqrt{x^2+y^2}\) und \({r}=\sqrt{d^2+z^2}\)

\(\Rightarrow{r}=\sqrt{\sqrt{x^2+y^2}^2+z^2}\)

\(\Leftrightarrow{r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

PS: Die Länge eines Vektors läßt grüßen!

Abschließend noch ein kurzes Beispiel, zur Umkehrung des Satz des Pythagoras.

5. Beispiel | Holzplatte rechteckig?

Christian soll aus einem Stück Holz eine rechteckige Platte herausschneiden. Sein Vater ist skeptisch, ob die von ihm hergestellte Platte wirklich rechtwinklig ist und misst die in der Skizze eingezeichneten Größen.

Hat Christian sauber gearbeitet und eine rechteckige Platte hergestellt?

Lösung:

\(90^2=72^2+54^2\)

\(\Leftrightarrow8100=5184+2916\;\;\text{(wahr)}\)

\(\Rightarrow\text{Das Dreieck ist rechtwinklig}\)

Nun, die Umkehrung des Satz des Pythagoras besagt: "Falls \(a^2+b^2=c^2\) gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig!"

Christians Vater überprüft also, ob das stimmt. Und siehe da, tatsächlich ist \(72^2+54^2=5184+2916=8100\;(=90^2)\) - das Dreieck also rechtwinklig.

Übrigens können sich Hobbybastler auf diese Weise einen Winkel herstellen - ein Instrument zum Nachmessen und Einzeichnen rechter Winkel. Wegen der 3-4-5er-Regel (\(3^2+4^2=5^2\)) muss man dazu nur drei Leisten etwa mit den Längen 30, 40 und 50cm zu einem Dreieck zusammenlegen. Dieses Dreieck ist wegen \(30^2+40^2=50^2\) stets rechtwinklig!