Sinus Kosinus Tangens

Kapiteleintrag

Sinus, Kosinus und Tangens

\(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)

\(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)

\(\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)

In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man die Seite gegenüber dem rechten Winkel Hypotenuse und die beiden Seiten am rechten Winkel Katheten. Die trigonometrischen Formeln stellen Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Winkeln des rechtwinkligen Dreiecks auf, so sagt etwa der Sinus, dass das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse stets gleich ist (und zwar gleich dem Sinus des zugehörigen Winkels, siehe Bild). Hierbei bedeutet Gegenkathete, dass die Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel gemeint ist (man nennt die andere Kathete dann Ankathete, denn sie liegt an dem betrachteten Winkel).

Dass besagte Verhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck stets gleich sind, erkennt man schnell beispielsweise am Tangens: Dazu stellen wir uns einen Skilift vor, der unter einem gewissen Winkel einen Berg hinaufführt. Nehmen wir an, wir würden unter diesem Anstiegswinkel auf zehn waagerechten Metern zwei Meter an Höhe gewinnen. Somit wäre der Tangens des Anstiegswinkel \(tan(\alpha)=\frac2{10}=\frac15\). Sofern der Anstiegswinkel des Lifts unverändert bliebe, würden wir dann natürlich auf zum Beispiel 20 waagerechte Meter vier Meter Höhe gewinnen - das Verhältnis bleibt gleich: \(\tan(\alpha)=\frac4{20}=\frac15\). Prinzipiell verhalten sich Gegen- und Ankathete proportional (doppelt so weit waagerecht, doppelt so hoch), das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete ist also konstant (es ist übrigens die Steigung der zugehörigen linearen Funktion - hier \(m=\frac15\)). Analog lassen sich auch Beziehungen zwischen Hypotenuse und Gegen- (Sinus), bzw. zwischen Hypotenuse und Ankathete (Kosinus) herleiten.

1. Beispiel

\(\sin(30^{\circ})=\frac{a}{8}\)

\(\Leftrightarrow\sin(30^{\circ})\cdot8=a\)

\(\Leftrightarrow{a}=4\)

\(\cos(30^{\circ})=\frac{b}{8}\)

\(\Leftrightarrow\cos(30^{\circ})\cdot8=b\)

\(\Leftrightarrow{b}\approx6,93\)

\(\tan(\beta)=\frac{6,93}4\)

\(\Leftrightarrow\tan(\beta)=1,7325\)

\(\Leftrightarrow\beta=\tan^{-1}(1,7325)\approx60,004^{\circ}\)

Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen lassen sich schnell Winkel und Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Dazu sucht man sich stets eine Formel aus, bei der bereits zwei Größen gegeben sind (um die dritte berechnen zu können). Bei diesem Beispiel etwa ist der Winkel unten rechts, sowie die Hypotenuse gegeben - man kann also sowohl den Sinus, als auch den Kosinus benutzen (beim Tangens wären Gegen- und Ankathete unbekannt - es ließe sich nichts berechnen).

Beginnen wir mit dem Sinus - dieser bestimmt das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Da wir den Winkel unten rechts betrachten, ist die senkrechte Kathete die zugehörige Gegenkathete (also \(a\)) - die Hypotenuse ist mit \(8cm\) angegeben. Setzt man alles in die Formel, können wir nach \(a\) auflösen und es so bestimmen.

Der Kosinus funktioniert analog - da \(b\) die Ankathete des betrachteten Winkels ist, müssen wir nun in den Kosinus einsetzen. Wieder lösen wir nach der Variable auf und erhalten die Lösung.

Zur Übung berechnen wir den fehlenden Winkel oben links mit dem Tangens - beachte unbedingt, dass die Katheten nun aus dessen Sicht beschriftet werden müssen. Die waagerechte Seite ist nun also die Gegenkathete, und die Senkrechte entsprechend die Ankathete. Um \(\beta\) schließlich freistellen zu können, müssen wir den Tangens rüberbringen, wir benötigen also den \(\tan^{-1}\) (im TR mit shift+tan). Merke Dir hier am besten, dass man zum Beispiel den Sinus eines Winkels sofort eintippen kann, man aber shift+sin bräuchte, wenn man den zugehörigen Winkel sucht.

Jedenfalls erhalten wir \(\beta=60^{\circ}\), was wir allerdings auch einfacher mit Hilfe des Winkelsummensatzes hätten berechnen können..

Das folgende Dreieck ist nicht rechtwinklig, weshalb die trigonometrischen Beziehungen in ihm nicht gelten. Da die Höhe allerdings immer senkrecht zur Grundseite ist, entstehen dort zwei rechtwinklige Dreiecke - und dort sind Sinus, Kosinus und Tangens wieder erlaubt.

2. Beispiel

Seite a

\(\sin(41^{\circ})=\frac{3,1}{a}\)

\(\Leftrightarrow\sin(41^{\circ})\cdot{a}=3,1\)

\(\Leftrightarrow{a}=\frac{3,1}{\sin(41^{\circ})}\approx4,73\)

Seite q

\(\tan(41^{\circ})=\frac{3,1}{q}\)

\(\Leftrightarrow\tan(41^{\circ})\cdot{q}=3,1\)

\(\Leftrightarrow{q}=\frac{3,1}{\tan(41^{\circ})}\approx3,57\)

(Alternative: Pythagoras)

\(3,1^2+q^2=4,73^2\Leftrightarrow{q}\approx3,57\)

Seite p

\(p=8,4-3,57=4,83\)

Winkel \(\beta\))

\(\tan(\beta)=\frac{3,1}{4,83}\)

\(\Leftrightarrow\beta=\tan^{-1}(\frac{3,1}{4,83})\approx32,7^{\circ}\)

Seite b)

\(\sin(32,7^{\circ})=\frac{3,1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\sin(32,7^{\circ})\cdot{b}=3,1\)

\(\Leftrightarrow{b}=\frac{3,1}{\sin(32,7^{\circ})}\approx5,74\)

(Alternative: Pythagoras)

\(3,1^2+4,83^2=b^2\Leftrightarrow{b}\approx5,74\)

Wie man sieht teilt die Höhe das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf, in denen wir die trigonometrischen Beziehungen anwenden dürfen. Da wir im linken Dreieck lediglich die Höhe kennen, beginnen wir rechts.

Im rechten Dreieck ist \(a\) die Hypotenuse, klar. Betrachten wir die eingezeichneten 41^{\circ}, so wird \(h\) zur Gegen- und \(q\) zur Ankathete des Winkels. Beginnen wir damit, die Hypotenuse zu berechnen - da neben dem Winkel die Gegenkathete mit \(h=3,1\)cm bekannt ist, läßt sich \(a\), die Hypotenuse, mit dem Sinus ermitteln. Praktisch analog ermitteln wir \(q\), die Ankathete, jedoch mit dem Tangens (Gegen- und Ankathete). Natürlich hätte man \(q\) auch mit Hilfe von Pythagoras ermittlen können, da mit \(a\approx4,73\) und \(h=3,1\) zwei der drei Seiten bereits bekannt sind.

Nun läßt sich \(p\) leicht ermitteln, da die Grundseite in \(p\) und \(q\) unterteilt ist. Somit kennen wir im linken Dreieck endlich zwei Größen und können den Rest ermitteln.

Beginnen wir mit dem Winkel \(\beta\) - gegeben sind die beiden Katheten, wobei aus Betas Sicht \(h\) die Gegen- und \(p\) die Ankathete ist. Wir ermitteln \(\beta\) also mit dem Tangens. Beachte hierbei wieder, dass wir einen Winkel suchen, also im TR shift+tan drücken müssen.

Zwar ließe sich die dritte Seitenlänge auch hier mit Hilfe des Satz des Pythagoras ermitteln, wir üben allerdings weiter und bestimmen \(b\) mittels trigonomtrischer Berechnungen: Da \(b\) die Hypotenuse des linken Dreiecks ist, können wir sie nur mit Hilfe von Sinus und Kosinus ermitteln (denn nur diese beinhalten die Hypotenuse). Wir entscheiden uns für den Sinus und bestimmen \(b\) wie gewohnt.