Bruchmultiplikation & -Division

Was sind 3 mal 2 Euro? Logisch, 6 Euro.

Wie wir im Kapitel Bruchrechnung I gelernt haben, gibt der Nenner an, um welches Objekt es sich handelt (um Siebtel), und der Zähler, wieviele dieser Objekte vorliegen. Gesprochen lautet die Aufgabe hier also: "Was sind 3 mal 2 Siebtel?". Logisch, \(3\cdot2=6\) Siebtel.

Möchte man also Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren, so wird nur der Zähler mit der Zahl multipliziert (er gibt ja auch die Anzahl an) - und der Nenner wird beibehalten. Zur Verdeutlichung kann man sich noch einmal vor Augen führen, wie man zwei Äpfel verdrei-, vier-, fünffachen würde: Natürlich würde es sich nach der Berechnung immernoch um Äpfel handeln (6, 8, bzw. 10 Äpfel).

Was sind 2 Euro geteilt durch 2? Richtig, 1 Euro.

Genau wie beim Multiplizieren mit ganzen Zahlen wird also auch beim Dividieren schlicht die Anzahl - also der Zähler - durch die geforderte Zahl geteilt (2 Siebtel geteilt durch 2 sind \(2\div2=1\) Siebtel).

Anders als beim Multiplizieren von Brüchen mit ganzen Zahlen, kann es beim Dividieren allerdings zu einem Problem kommen. Denn was erhielten wir zum Beispiel, würden wir das Siebtel noch einmal durch zwei teilen möchten?!

Eine zwar richtige, aber unschöne Lösung erhält man, indem man einfach genauso vorgeht wie im ersten Teil - indem man also den Zähler durch 2 teilt und \(\frac{1\div2}7=\frac{0,5}7\) angibt. Nun sind erstens Nachkommastellen bei Brüchen ohnehin unschön (etwa \(\frac17\div3=\frac{0,33333..}7\) - Igitt!), und zweitens gibt es einen viel besseren und schnelleren Weg, um ein sauberes Ergebnis zu erhalten.

Dazu betrachten wir wieder unseren Euro und fragen: Was erhält man, wenn man einen Euro durch zwei teilt?. Nun, da wir einen Euro nicht weiter teilen können, rechnen wir ihn eben vorher in 100 Cent um - und das können wir ganz bequem auf zwei Personen aufteilen: Jeder erhält \(100\div2=50\) Cent.

Analog müssen wir unseren Bruch also vor dem Dividieren so umrechnen (erweitern), dass wir den Zähler anschließend durch 2 teilen können. Damit das klappt, erweitern wir den Bruch natürlich mit 2, denn wenn wir etwas mal 2 rechnen, so können wir das Ergebnis sicher durch 2 teilen.

Richtig - läßt sich der Zähler nicht durch die geforderte Zahl teilen, so kann man stattdessen auch den Nenner mit der geforderten Zahl multiplizieren! Das halten wir am besten als Satz fest.

Nachtrag: \(\frac17\div2\) ist also \(\frac1{14}\) - oben hatten wir die unschöne Lösung \(\frac{0,5}7\) angegeben. Nun sehen wir, dass auch diese Lösung stimmt, denn erweitern wir sie mit 2, erhalten wir wieder die saubere Lösung \(\frac{0,5\cdot2}{7\cdot2}=\frac1{14}\). Viel schneller würden wir nun aber einfach den Nenner mit 2 multiplizieren und sofort \(\frac17\div2=\frac1{7\cdot2}=\frac1{14}\) erhalten.