Brüche

Mit Brüchen lassen sich bestimmte Teile eines Ganzen darstellen, so gibt es etwa Hälften, Drittel, Viertel, usw.. In der Bruchschreibweise sind das die Brüche \(\frac12\), \(\frac13\), \(\frac14\). Der Nenner (unten) gibt hierbei an, in wieviele Teile ein Ganzes zerlegt werden soll (etwa bedeutet der Nenner \(2\), dass in zwei Teile zerlegt wird - es handelt sich also um Hälften). Merke Dir, dass der Nenner den vorliegenden Bruch benennt.

Der Zähler hingegen gibt die Anzahl der durch den Nenner benannten Objekte an. Bei unseren Beispielbrüchen handelt es sich also immer um ein Halb, ein Drittel, ein Viertel, usw. - man könnte beispielsweise aber auch den Bruch \(\frac23\) verwenden, also zwei Drittel.

Frage: Wieviel Euro hat man, wenn man einen halben (\(\frac12\)) Euro besitzt? Man besitzt natürlich 50 Cent, bzw. 0,50 Euro. Offensichtlicherweise meint man mit dem Bruch \(\frac12\) das gleiche wie mit der Dezimalzahl \(0,5\) (ein halber Euro ist das gleiche wie 0,5 Euro).

Man erhält die zugehörige Dezimalzahl, indem man den Zähler durch den Nenner teilt. Der Bruchstrich läßt sich also (auch) als "dividiert durch" auffassen (\(\frac12=1\div2\)). Aus diesem Grund nennt man Brüche auch "Quotienten" - denn ein Quotient ist das Ergebnis einer Division (Geteilt-durch-Rechnung).

Da Brüche wie gezeigt nichts anderes als "Dividiert-durch-Rechnungen" sind, gibt es verschiedene Brüche mit dem gleichen Wert: Etwa ist \(\frac12=1\div2=0,5\), aber auch \(\frac24=2\div4=0,5\) - die Brüche sind also gleichwertig.

Dass eine Hälfte übrigens das gleiche ist wie zwei Viertel, sieht man auch im echten Leben, so hat man beispielsweise einen halben Apfel gegessen, wenn man zwei Viertelstücke isst, oder eine halbe Stunde Mathe gelernt, wenn man zwei Viertelstunden KPIM liest ;).

Frage: Was ist \(120\) dividiert durch \(20\)?
Antwort: \(6\).

Was die meisten von euch automatisch im Kopf gemacht haben werden, ist auch bei Brüchen erlaubt: Statt \(120\) durch \(20\) rechnet man viel lieber \(12\) durch \(2\) und erhält schneller und einfacher die richtige Lösung \(6\). Man dividiert also nicht die Ausgangszahlen direkt, sondern die jeweils um zehn gekürzten Zahlen (\(120\div10=12\) und \(20\div10=2\). Das ist bei Brüchen generell erlaubt und man darf sogar durch jede beliebige Zahl kürzen (durch die sowohl Zähler als auch Nenner teilbar sind).

Um gleichwertige Brüche schnell zu erkennen, empfiehlt es sich, alle Brüche so schnell wie möglich komplett zu kürzen.

Das Gegenteil von Kürzen ist Erweitern: Statt oben und unten durch die gleiche Zahl zu teilen, darf man auch Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren, ohne dass sich der Wert des Bruchs ändert (man könnte ihn ja auch wieder kürzen). Warum aber sollte man Brüche, die möglichst immer so weit wie möglich gekürzt werden, überhaupt erweitern?!
Vielleicht weiß das nächste Kapitel (Bruchaddition und -Subtraktion) ja mehr darüber...