Kapiteleintrag
Prozentrechnung 0 Views
In meiner Nachhilfe höre ich von Schülern beim Thema Prozentrechnung oft "Das habe ich noch nie verstanden! Mal hundert, durch Hundert, irgendwas mit p, W und G - keinen Plan".
Ich glaube, das liegt daran, dass die Prozentrechnung in der Schule oft leider etwas umständlich beigebracht wird (etwa mit Dreisatz-Tabellen, mit 100er-Umrechnungsfaktoren oder mit Pfeildiagrammen zwischen Grundwert und Prozentwert. An sich ist die Prozentrechnung denke ich sehr leicht zu verstehen - man muss sie nur (richtig erklären und) einnmal verstehen!
Das erste, das man dabei unbedingt nachvollziehen muss, ist der Zusammenhang zwischen einem Bruch, der zugehörigen Dezimalzahl und der Interpretation selbiger als Prozentangabe. Betrachten wir dazu ein intuitives Beispiel:
1. Beispiel | Einer von Zweien in Prozent?
Von zwei Smarties ist einer blau. Wieviel Prozent sind das?
Lösung: \(p=\frac12\) \(p=0,50\) \(p=50\%\) | Klar, ohne Rechnung wissen wir, dass "einer von zwei" einen Anteil von 50% ausmacht - es sind also 50% der Smarties blau.
Als Bruch interpretiert bedeutet "einer von zwei" natürlich \(\frac12\). Rechnet man das in eine Dezimalzahl um (tippt man also in den Taschenrechner \(1\div2\)), so erhält man \(\frac12=0,50\).
Da "Prozent" - also lateinisch "pro Centum" - auf deutsch einfach nur "pro Hundert" bedeutet, läßt sich die zugehörige Prozentzahl an der Dezimalzahl ablesen, indem man das Komma um zwei Stellen verschiebt (bzw., indem man die ersten beiden Nachkommastellen betrachtet). Der Bruch \(\frac12=0,50\) weist also einen Anteil von \(50\%\) aus. |
Offenbar lassen sich Anteile auf drei verschiedene Weisen angeben: Als Bruch, als Dezimalzahl und als Prozentzahl. Alle Angaben bedeuten das gleiche, man schreibt sie lediglich unterschiedlich auf. Hinsichtlich der Prozentrechnung ist es sinnvoll, bestimmte Brüche als Dezimalzahl (und damit auch als Prozentzahl) auswendig zu kennen. Die folgende Tabelle gibt Dir einen Überblick.
Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl
\(\frac12\) | \(0{,}50\) | \(50\%\) |
\(\frac13\) | \(0{,}333..\) | \(33{,}33..\%\) |
\(\frac23\) | \(0{,}666..\) | \(66{,}66..\%\) |
\(\frac14\) | \(0{,}25\) | \(25\%\) |
\(\frac34\) | \(0{,}75\) | \(75\%\) |
\(\frac15\) | \(0{,}20\) | \(20\%\) |
\(\frac25\) | \(0{,}40\) | \(40\%\) |
\(\frac35\) | \(0{,}60\) | \(60\%\) |
\(\frac45\) | \(0{,}80\) | \(80\%\) |
\(\frac18\) | \(0{,}125\) | \(12{,}5\%\) |
\(\frac38\) | \(0{,}375\) | \(37{,}5\%\) |
\(\frac58\) | \(0{,}625\) | \(62{,}5\%\) |
\(\frac78\) | \(0{,}875\) | \(87{,}5\%\) |
\(\frac19\) | \(0{,}111..\) | \(11{,}11..\%\) |
\(\frac1{10}\) | \(0{,}10\) | \(10\%\) |
\(\frac3{10}\) | \(0{,}30\) | \(30\%\) |
\(\frac7{10}\) | \(0{,}70\) | \(70\%\) |
\(\frac9{10}\) | \(0{,}90\) | \(90\%\) |
Wir vereinbaren, dass für uns die Angabe \(p=0,25\) gleichbedeutend ist mit \(p=25\%\). Auf diese Weise sparen wir uns die gesamte "mal Hundert-, durch Hundert"-Klamotterie, so dass wir viel schneller und plausibler auf entsprechende Ergebnisse kommen: Sollen wir einen Prozentsatz ermitteln, erhalten wir zum Beispiel \(p=0{,}12\) fertig - im Antwortsatz geben wir \(12\%\) an. Wenn in der Aufgabe \(p=65\%\) vorgegeben sind, rechnen wir mit \(p=0{,}65\).
"Prozentsatz" - was ist das überhaupt? Es gibt bei der Prozentrechnung drei Größen: Grundwert \(G\), Prozentwert \(W\) und Prozentsatz \(p\).
- der Grundwert ist immer die Ausgangsgröße (bzw. das, was vorher, ursprünglich war, etwa \(G=2\text{ Smarties}\))
- der Prozentwert ist immer die anteilige Größe, etwa \(W=1\text{ blauer Smartie}\)
- der Prozentsatz ist immer die Prozentzahl, also zum Beispiel \(p=50\%\).
Wenn zwei dieser Größen gegeben sind, läßt sich die dritte ausrechnen. Um sich nicht für jeden Wert eine einzelne Formel merken zu müssen, lernt man am besten das Prozentdreieck:
Das Prozentdreieck
| Das Prozentdreieck gibt die Formeln zur Berechnung der einzelnen Größen an. Dazu hält man die gesuchte Größe zu und liest die zugehörige Formel ab.
Hält man etwa \(W\) zu, so steht unten noch \(p\cdot{G}\), die Formel zur Berechnung des Prozentwerts lautet also \(W=p\cdot{G}\).
Genauso erhält man \(p=\frac{W}{G}\), bzw. \(G=\frac{W}{p}\). |
Wir rechnen zu jeder Größe ein Beispiel durch:
\(W\) gesucht
Auf einer Party sind von 40 Gästen 25% weiblich - wieviele Frauen sind auf der Veranstaltung?
Lösung: \(G=40\) und \(p=0{,}25\)
Formel für \(W\) \(W=p\cdot{G}\) \(W=0{,}25\cdot40=10\)
Es sind 10 Frauen auf der Party. | Am schnellsten findet man den Prozentsatz \(p=25\%\) - dieser ist sofern gegeben immer die Prozentzahl. Beachte, dass wir nicht \(p=25\%\) aufschreiben, sondern direkt \(p=0{,}25\) - wir rechnen also immer mit der zugehörigen Dezimalzahl.
Der Grundwert ist der zugrundeliegende Wert - hier also die 40 Partygäste.
Um den Prozentwert \(W\) zu bestimmen, halten wir \(W\) im Prozentdreieck zu und erhalten die Formel \(W=p\cdot{G}\). Setzen wir \(p\) und \(G\) ein, erhalten wir (ohne auf eine Hunderter-Umrechnung achten zu müssen) das Ergebnis - es sind 10 Frauen auf der Party. |
\(G\) gesucht
Auf einer anderen Party sind 30 Frauen - diese stellen einen Anteil von 60%. Wieviele Gäste sind insgesamt auf der Veranstaltung?
Lösung: \(W=30\) und \(p=0{,}60\)
Formel für \(G\) \(G=\frac{W}{p}\) \(G=\frac{30}{0{,}60}=50\)
Es gibt insgesamt 50 Gäste auf der Party. | Da sich die 30 auf den Anteil der weiblichen Gäste bezieht, ist \(W=30\). Der Prozentsatz ist wie immer schnell zu erkennen und beträgt \(p=0{,}60\).
Da \(G\) gesucht ist, halten wir es im Prozentdreieck zu und erhalten die Formel \(G=\frac{W}{p}\). Setzen wir alles ein, gibt′s den Wert \(G=50\) - auf der Party sind insgesamt also 50 Gäste. |
\(p\) gesucht
Auf einer dritten Party sind 80 Gäste, wobei 30 dieser Gäste weiblich sind - wie groß ist der Anteil der Frauen in Prozent?
Lösung: \(G=80\) und \(W=30\)
Formel für \(p\) \(p=\frac{W}{G}\) \(p=\frac{30}{80}=0{,}375\)
Die Frauen stellen einen Anteil von 37,5%. | "Von 80 Gästen sind 30 weiblich" - die Ausgangsgröße (und damit \(G\)) beträgt also \(G=80\), der Anteil der Frauen ist somit \(W=30\).
Mittels Zuhaltetrick entnehmen wir dem Prozentdreieck die Formel \(p=\frac{W}{G}\), setzen alles ein und erhalten das Ergebnis \(p=0{,}375\).
Im Antwortsatz geben wir das Ergebnis noch in Prozent an. |
Wie man sieht, spart man sich die komplette 100er-Umrechnungsstrategie, wenn man sich klarmacht, dass \(p=0{,}25\) dasselbe bedeutet wie \(p=25\%\). Es ist deshalb sehr vorteilhaft, in allen Rechnungen nur mit den Dezimalzahlen zu rechnen - und die Angabe als Prozent lediglich im Antwortsatz zu benutzen.
Zusammenfassung Prozentrechnung
Man ermittelt \(p\), \(W\) oder \(G\), indem man die zugehörige Formel aus dem Prozentdreieck abliest und die beiden gegebenen Größen einsetzt.
Hierbei rechnet man immer mit der zugehörigen Dezimalzahl - statt \(p=46\%\) nehmen wir also \(p=0{,}46\).
Erweiterung Prozentualer Zuwachs/Zerfall
Auf die gleiche Weise läßt sich auch prozentualer Zerfall, bzw. Wachstum berechnen (womit wir bereits sehr nah an der Zinsrechnung sind). Der einzige Unterschied besteht darin, den Prozentsatz, also \(p\) entsprechend zu interpretieren. Wir betrachten ein Beispiel:
Prozentuales Wachstum
Eine Hose kostet 80€ und wird um 20% erhöht. Wie teuer ist die Hose nach der Preiserhöhung? \(G=80\) und \(p=1{,}20\)
Lösung: \(W=80\cdot1{,}20=96\) Die Hose kostet anschließend 96€. | Der Grundwert beträgt 80€, soweit so klar. Für den Prozentsatz fragen wir uns: "Wieviel Prozent kostet die Hose nach der Preiserhöhung?". Antwort: Da die Hose um 20% erhöht wurde, kostet sie anschließend 120%, bzw. \(p=1{,}20\).
Um den Prozentwert zu ermitteln rechnen wir genau wie bei der normalen Prozentrechnung, der einzige Unterschied ist, dass \(p\) bei einer prozentualen Steigerung größer als 1 ist (logisch: 1 bedeutet ja 100% - wenn wir steigern erhalten wir mehr als 1). |
Prozentualer Zerfall
Eine Hose kostet 80€ und wird um 20% reduziert. Wie teuer ist die Hose nach der Preissenkung? \(G=80\) und \(p=0{,}80\)
Lösung: \(W=80\cdot0{,}80=64\) Die Hose kostet anschließend 64€. | Prinzipiell rechnen wir genauso wie bei einer prozentualen Steigerung - allerdings ziehen wir diesmal die 20% von 1 ab, sodass wir \(p=0{,}80\) erhalten (logisch: Die Hose kostet nur noch 80%). |
Zusammenfassung prozentuales Wachstum/Zerfall
Aufgaben zum prozentualem Wachstum, bzw. Zerfall lassen sich genau wie die normale Prozentrechnung mit Hilfe des Prozentdreiecks berechnen.
Der einzige Unterschied ist, dass man den prozentualen Wachstum/Zerfall auf \(p=1\) aufrechnen (bzw. von \(p\) abziehen) muss, man also \(p=1\pm{x}\%\) erhält.
Hat man das verstanden, so gibt es keinen Unterschied zur normalen Prozentrechnung. Man interpretiert so gesehen die Prozentsätze als "Abstand zu 1", etwa bedeudet \(p=1{,}07\), dass um 7% gesteigert wurde oder \(p=0{,}90\), dass um 10% reduziert wurde.
1. Beispiel
Eine Hose kostet statt 80€ nur noch 60€. Um wieviel Prozent wurde der Preis reduziert? \(G=80\) und \(W=60\)
Lösung: \(p=\frac{60}{80}=0{,}75\) Die Hose kostet anschließend also nur noch 75% und wurde somit um 25% reduziert. | Um den Prozentsatz \(p\) zu bestimmen, rechnen wir wie gewohnt.
Da hier nach einem prozentualem Zerfall gefragt ist, interpretieren wir \(p=0{,}75\) als "Abstand zu 1 bzw. zu 100% und können den Zerfall um 25% ohne weitere Rechnung angeben. |