Zinseszinsrechnung

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Wer das Kapitel Zinsrechnung bereits gelesen hat, kann prinzipiell bereits auch Zinseszinsaufgaben lösen. Es gibt aber ein paar Abkürzungsmöglichkeiten, die wir in diesem Kapitel erarbeiten möchten. Hier wird außerdem erklärt, wie man Zinseszinsaufgaben mit Hilfe von Funktionen darstellen, bzw. leichter berechnen kann.

1. Beispiel

Christian bekommt von seiner Bank 2% Zinsen pro Jahr und hat ein Guthaben von 8.000€ angespart. Bestimme den Kontostand nach 1, 2, 3, 4 und 5 Jahren.

1. Jahr	\(8.000\cdot1{,}02=8.160€\)
2. Jahr	\((8.000\cdot1{,}02)\cdot1{,}02=8.323{,}20€\)
3. Jahr	\(((8.000\cdot1{,}02)\cdot1{,}02)\cdot1{,}02=8.489{,}66€\)
4. Jahr	\(8.000\cdot1{,}02^4=8.659{,}46€\)
5. Jahr	\(8.000\cdot1{,}02^5=8.832{,}65€\)

Da es sich hier um eine prozentuale Steigerung handelt, nehmen wir den Prozentsatz \(p=1,02\) (zur Erinnerung: 1,02 bedeuten 102%, also eine Steigerung um 2%). Nach einem Jahr hat Christian also 8.160€.

Im folgenden Jahr werden die Zinsen mit verzinst, wir rechnen also unser Ergebnis von gerade erneut mal 1,02.

Das gilt natürlich auch im dritten Jahr. Wie man sieht, brauchen wir die Klammern gar nicht und könnten \(8.000\cdot1{,}02\cdot1{,}02\cdot1{,}02\) zusammenfassen zu \(8.000\cdot1{,}02^3\).

Auf diese Weise berechnen wir den Kontostand nach 4 und 5 Jahren, allgemein erhält man den Kontostand nach \(n\) Jahren also durch folgende Formel:

\(K_n=K_0\cdot{p}^n\)

Zinseszinsformel

\(K_n=K_0\cdot{p}^n\)

\(K_n:\) Kapital nach n Jahren, \(K_0:\) Startkapital,
\(p:\) prozentuale Steigerung (p=1+z% Zinsen), \(n:\) Jahre

Die Formel selbst ergibt sich sofort aus der normalen Prozentrechnung - hier wird der Prozentwert mittels \(W=G\cdot{p}\) bestimmt.

Der einzige Unterschied besteht nun darin, dass bei Zinseszinsaufgaben die prozentuale Steigerung nicht nur einmalig auftritt (siehe: \(W=G\cdot{p}^1\)), sondern in jedem Jahr wiederholt wird. Die Formel lautet bei einer n-fachen prozentualen Steigerung also \(W=G\cdot{p}^n\) und bei der Zinseszinsformel werden hierbei lediglich die Variablen angepasst (etwa ist der Grundwert \(G\) das Anfangskapital \(K_0\)).

Hinweis: Das \(p\) aus der Zinseszinsformel ist immer eine prozentuale Steigerung, je nach Zinssatz erhält man zu Beispiel die Werte 1,02, 1,03, 1,07 usw.. Manche Lehrer geben die Formel daher mit \(K_n=K_0\cdot(1+p\%)^n\) an. Für uns ist (wie im Kapitel Prozentrechnung gelernt) die Zahl 1,02 aber gleichbedeutend zu "102 Prozent, bzw. 2% Steigerung", weshalb wir auf die umständliche Angabe des Zinssatzes verzichten können.

Mit Hilfe dieser Formel können alle gesuchten Größen bestimmt werden - betrachten wir dazu jeweils ein Beispiel.

2. Beispiel | Startkapital gesucht

Max hat nach 8 Jahren 18.276,04€ auf seinem Sparbuch, welches einen Jahreszinssatz von 2,5% abwirft. Wieviel Geld hatte er vor 8 Jahren eingezahlt?

Lösung:
\(18.276{,}04=K_0\cdot1{,}025^8\)

\(\Leftrightarrow18.276{,}04=K_0\cdot1{,}2184\)

\(\Leftrightarrow\frac{18.276{,}04}{1{,}2184}=K_0\)

\(\Leftrightarrow{K}_0=15.000\)

Wir setzen alle gegebenen Größen ein und formen nach der Gesuchten um.

Wenn das Startkapital gesucht ist, muss man dazu lediglich \(p^n\) ausrechnen und die Gleichung durch diesen Wert teilen.

Vergiss nicht \(p=1,..\) zu benutzen!

2. Beispiel | Zinssatz gesucht

Jill hat innerhalb von 10 Jahren aus 12.000€ durch einen Bundesschatzbrief 17.762,93€ gemacht. Wie hoch war der jährliche Zinssatz?

Lösung:
\(17.762{,}93=12.000\cdot{p}^{10}\;\;|\div12.000\)

\(\Leftrightarrow1{,}4802=p^{10}\;\;|\sqrt[10]{\;\;}\)

\(\Leftrightarrow1{,}04=p\)

Wieder setzen wir alle gegebenen Größen ein und formen nach der Gesuchten um.

Wenn der Zinssatz gesucht ist, muss man dazu erst das Startkapital rüberbringen (dividieren) und anschließend eine Wurzel ziehen.

Vergiss nicht, dass \(p=1{,}04\) bedeutet, dass um 4% gesteigert wurde - Jill hat also 4% Zinsen bekommen!

3. Beispiel | Jahre gesucht

Wie lange muss Peter 6.000€ anlegen, um bei einem Zinssatz von 5% ein Guthaben von 10.000€ zu besitzen?

Lösung:
\(10.000=6.000\cdot1{,}05^n\;\;|\div6.000\)

\(\Leftrightarrow\frac53=1{,}05^n\;\;|\ln()\)

\(\Leftrightarrow\ln(\frac53)=\ln(1{,}05^n)\)

\(\Leftrightarrow\ln(\frac53)=n\cdot\ln(1{,}05)\;\;|\div\ln(1{,}05)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\ln(\frac53)}{\ln(1{,}05)}=10,47=n\)

Die für Schüler wohl schwierigste Aufgabe ist das Finden der Jahre. Setzt man alle gegebenen Größen ein, sieht man den Salat: Die Variable ist im Exponenten!

Um Variablen aus dem Exponenten zu bekommen, muss man den Logarithmus benutzen - dazu formt man erst soweit um, dass die Potenz alleine steht und zieht anschließend einen Logarithmus (hier den \(\ln\)). Logarithmen ermöglichen es, Exponenten als Faktoren vor den Logarithmus zu schreiben, sodass wir die Gleichung anschließend nur noch durch \(\ln(1{,}05\) teilen müssen.

Bevor wir uns darauf stürzen, diesen Zusammenhang der wiederkehrenden prozentualen Steigerung mit Hilfe von Funktionen anzugeben, hier noch ein kleines, berühmtes Beispiel zur Zinseszinsrechnung. Es verdeutlicht die extremen Steigerungsraten bei langfristiger prozentualer Steigerung:

4. Beispiel | Der Joseph-Cent

Wenn Joseph im Jahr 0 einen Cent zu 5% Zinsen angelegt hätte - wieviel Geld könnte einer seiner Nachfahren heute im Jahr 2019 abheben?

Lösung:
\(K_n=0{,}01\cdot1{,}05^{2019}\)

\(K_n\approx6{,}04\cdot10^{40}\)

Dafug - hätte ich jetzt beinahe gesagt. \(10^{40}\), also eine Zahl mit 40 Stellen?!

Um die extreme Höhe des Guthabens zu vergleichen, rechnen wir das um in Gold:

Goldpreis: 32.000€ je Kilo - man erhält für das Geld also \(6{,}04\cdot10^{40}\div32.000=1{,}8\cdot10^{36}\) Kilogramm Gold. Das bedeutet, man bekäme etwa \(3\cdot10^{11}\), also ca. 300 Milliarden Erdkugeln aus purem Gold.

Äh ja gut. Das ist viel Geld. Aus einem Cent durch Zinsen?!

Zinseszinsrechnung mit Hilfe von Exponentialfunktionen

Wer die Zinseszinsrechnung verstanden hat, wird auch beim Darstellen solcher Zusammenhänge mittels exponentiellen Funktionen keine Probleme haben. Allgemeine Exponentialfunktionen beschreiben nämlich genau das gleiche: eine wiederkehrende, prozentuale Steigerung. Ds sieht man sehr schnell an den zugehörigen Gleichungen, bzw. am Funktionsterm:

Zinseszinsformel

\(K_n=K_0\cdot{p}^n\)

\(K_n:\) Kapital nach n Jahren, \(K_0:\) Startkapital,
\(p:\) prozentuale Steigerung (p=1+z% Zinsen), \(n:\) Jahre

Allgemeine Exponentialfunktion

\(f(x)=c\cdot{a}^x\)

\(c:\) Startwert (y-Achsenabschnitt),
\(a:\) Wachstumsfaktor (bzw. Zerfallsfaktor für \(0<a<1\))

Die Formeln sind prinzipiell also identisch: Statt \(K_0\), also dem Anfangskapital, schreibt man allgemein \(c\) - also irgendeine Konstante. Der Zinssatz \((1+p\%)\) wird zum allgemeinen Wachstumsfaktor \(a\).

Im Sinne der Zinseszinsaufgaben gibt \(x\) die Anzahl der Jahre, und \(f(x)\) das Kapital nach \(x\) Jahren an.

1. Beispiel

Fridolin legt 2.000€ zu 3% Zinsen an. Stellen Sie den Zusammenhang grafisch mit Hilfe einer exponentiellen Funktion dar!

Da wir \(c=2.000\) und \(a=1{,}03\) bereits kennen, können wir die Funktionsvorschrift sofort angeben:

\(f(x)=2.000\cdot1{,}03^x\)

Betrachte am Graphen noch einmal, dass der Graph je weiter man nach rechts geht, immer steiler wird (~die prozentuale Zunahme wird ja immer größer!). Kein Wunder also, dass man beim Josph-Cent, bzw. nach 2.019 Jahren so ein exorbitant großes Ergebnis erhält.

Das Aufstellen der zugehörigen expoentiellen Funktion ist also eigentlich nichts anderes als bei der normalen Zinseszinsrechnung (ggf. Startwert, bzw. Anfangskapital und den Zinssatz berechnen -> man kann die Funktion angeben). Tricky wird es aber bei folgendem Aufgabentyp, bei dem statt des Anfangskapitals oder des Zinssatzes, lediglich zwei Punkte gegeben sind:

2. Beispiel | Exponentielle Funktion aus zwei Punkten

Phillip weiß noch, dass er acht Jahre nach dem einmaligen Einzahlen auf ein Konto 7.110,50€ Guthaben hatte. Jetzt, 12 Jahre nach dem Einzahlen hat er 8.479,41€. Gib den Zusammenhang mit Hilfe einer exponentiellen Funktion an und interpretiere die Werte \(c\) und \(a\).

Lösung:
\(P(8|7.110{,}50)\) und \(Q(12|8.479{,}41)\)

\(P:\;\;f(8)=7.110{,}50=c\cdot{a}^8\)

\(Q:\;\;f(12)=8.479{,}41=c\cdot{a}^{12}\)

I. \(c\cdot{a}^8=7.110{,}50\)
\(c\cdot{a}^8\cdot{a}^4=8.479{,}41\)

II. \(c\cdot{a}^8=7.110{,}50\)
\(7.110{,}50\cdot{a}^4=8.479{,}41\Leftrightarrow{a}=1{,}045\)

III. \(c\cdot{1{,}045}^8=7.110{,}50\Leftrightarrow{c}=5.000\)
\(a=1{,}045\)

\(\Rightarrow{f}(x)=5.000\cdot1{,}045^x\)

Um das nicht lineare Gleichungssystem zu lösen, schreibt man die größere Potenz, hier \(a^{12}\) immer als Produkt aus der kleineren Potenz und dem Rest - bei uns also \(a^{12}=a^8\cdot{a}^4\), da unsere kleinere Potenz den Exponenten 8 hat (siehe I.).

Auf diese Weise können wir die andere Gleichung stets in die neue Gleichung einsetzen, so dass wir eine Gleichung mit nur noch einer Variable erhalten (siehe II. zweite Zeile).

Anschließend können wir die Variablen wie gewohnt nacheinander bestimmen.

Wegen \(c=5.000\) hat Phillip ursprünglich 5.000€ eingezahlt - \(a=1{,}045\) besagt darüberhinaus, dass der Zinssatz 4,5% betrug.