Dreisatz

Kapiteleintrag

Dreisatz (Mehrsatz) 0 Views

Eine klassische Dreisatzaufgabe lautet: Wenn vier Bonbons 1,20€ kosten, wie teuer sind dann neun Bonbons?. Man löst solche Aufgaben, indem man aus den gegebenen Größen zuerst den Preis für ein Bonbon berechnet, um anschließend den Preis für die gesuchten 9 Bonbons bestimmen zu können. Am besten macht man das in kleinen Tabellen - berechnen wir unser Beispiel also auf diese Weise:

1. Beispiel

Wenn 4 Bonbons 1,20€ kosten, wie teuer sind dann 9 Bonbons?

\(\Rightarrow9\text{ Bonbons kosten }2,70€.\)

Zum Lösen trägt man in die erste Zeile die gegebenen Größen ein - hier also den Preis für vier Bonbons.

Nun läßt man eine Zeile frei und trägt die gesuchte Größe in die entsprechende Spalte ein - hier also die \(9\), in die Spalte der Anzahl der Bonbons. Nun haben wir alle relevanten Zahlen aus der Aufgabe übertragen (alle roten Zahlen in der Tabelle) und können mit der Rechnung beginnen.

Um den Preis für neun Bonbons zu berechnen, bestimmen wir zuvor den Preis für ein Bonbon - dazu tragen wir in die freie Zeile links eine 1 ein. Allgemein kann man sich merken, dass man immer auf der Seite eine 1 einträgt, auf der man bereits zwei Zahlen stehen hat. Um nun von vier Bonbons auf 1 Bonbon zu kommen, muss man geteilt durch 4 rechnen - das verdeutlichen wir mit einem Pfeil links neben der Tabelle. Nun muss entschieden werden, ob der Zusammenhang Anzahl Bonbons \(\leftrightarrow\) Preis proportional oder antiproportional ist, ob man also mehr bezahlen muss, je mehr Bonbons man kauft (proportional), oder ob man weniger bezahlen muss (antiproportional). Bei uns ist der Zusammenhang natürlich proportional - je mehr Bonbons, desto mehr Euros. Demnach rechnen wir auf beiden Seiten immer das gleiche - hier also endlich auch rechts \(\div4\).

Ein Bonbon kostet also 0,30€, und um nun den Preis für die geforderten neun Bonbons zu bestimmen, bringen wir links die 1 auf 9 - mittels \(\cdot9\), was wir wieder mit einem Pfeil verdeutlichen. Mit unserem proportionalen Zusammenhang, rechnen wir rechts entsprechend auch \(\cdot9\) und erhalten das Ergebnis.

2. Beispiel

Wenn 4 Bonbons 1,20€ kosten, wieviele Bonbons kann man dann für 6,90€ kaufen?

\(\Rightarrow\text{Mit 6,90€ lassen sich 23 Bonbons kaufen}.\)

Wieder tragen wir alle gegebenen Größen ein und lassen eine Zeile frei. Hier sind nun rechts bereits zwei Zahlen bekannt (1,20 und 6,90), weshalb wir diesmal rechts die Hilfseins eintragen.

Um 1,20€ auf 1€ zu bringen rechnen wir \(\div1,2\) - wegen des proportionalen Zusammenhangs rechnen wir also auch links \(\div1,2\). Für einen Euro bekommt man also 3,33 Bonbons.

Und um den Euro nun auf die geforderten 6,90€ zu bringen, rechnen wir \(\cdot6,9\) - wie immer auf beiden Seiten.

Wir erhalten 23 Bonbons und haben die Aufgabe gelöst.

Bevor wir eine Zusammenfassung schreiben, vorab noch ein antiproportionales Beispiel.

3. Beispiel

Wenn Chris seine Smarties auf 2 Schüler aufteilt, bekommt jeder 15 Stück. Wieviel bekommt jeder, wenn er sie auf 5 Schüler aufteilt?

\(\Rightarrow\text{Bei 5 Schülern gibts für jeden 6 Smarties}.\)

Genau wie immer, tragen wir die drei gegebenen Größen in die Tabelle ein und lassen eine Hilfszeile frei.

Hier sind links bereits zwei Zahlen, also tragen wir hier die 1 ein. Um von 2 auf 1 zu kommen rechnen wir links \(\div2\). Nun ist der Zusammenhang Anzahl Personen \(\leftrightarrow\) Anzahl Smarties pro Person antiproportional (je mehr Personen, desto weniger Smarties je Person) - wir rechnen rechts also gegenteilig - statt \(\div2\) also \(\cdot2\).

Eine Person bekäme also 30 Smarties (das ist natürlich die Anzahl der Smarties, die Chris insgesamt hat). Nun ist aber nach 5 Personen gefragt - wir bringen die 1 links also mit \(\cdot5\) auf die geforderte 5 und müssen rechts wieder gegenteilig, also \(\div5\), rechnen.

Wir erhalten 6 Smarties je Schüler.

Zusammenfassung Dreisatz

Man löst Dreisatzaufgaben am besten mit kleinen Tabellen. Dazu geht man wie folgt vor:

1. Trage alle (drei) angegebenen Zahlen in die Tabelle ein - nämlich die beiden zusammengehörigen in die erste Zeile, und die gesuchte in die dritte Zeile.

2. Trage auf der Seite, auf der bereits zwei Zahlen stehen, in die freie mittlere Zeile eine Hilfseins ein und schreibe an die Pfeile die erforderlichen Punktrechnungen für diese Spalte (man darf nur mal und geteilt durch rechnen).

3. Entscheide, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist, und berechne die fehlen Größen der anderen Spalte entsprechend (bei proportional wird auf beiden Seiten gleich gerechnet; bei antiproportional gegenteilig).

Der Trick mit der Hilfseins klappt immer - ist allerdings oft nicht erforderlich, da man die gegebenen Größen auch sofort auf die geforderte Größe bringen kann. Wenn z.B. 7 Tonnen Sand 23,03€ kosten, wie teuer sind dann 14 Tonnen? Logisch, doppelt so viel Sand ist doppelt so teuer - ohne also den Preis für eine Tonne bestimmen zu müssen, läßt sich der Preis für 14 Tonnen angeben (46,06€). Damit das Beispiel also nicht zu kurz wird, bestimmen wir zusätzlich den Preis für 15 Tonnen - dieser läßt sich nicht mehr ohne weiteres aus dem Preis für 7 Tonnen bestimmen - wir brauchen die Hilfseins.

4. Beispiel

Wenn 7 Tonnen Sand 23,03€ kosten, wie teuer sind dann 14 Tonnen (bzw. 15 Tonnen)?

\(\Rightarrow14\text{ t Sand kosten }46,06€.\)

\(\Rightarrow15\text{ t Sand kosten }49,35€.\)

Nachdem wir die drei gegebenen Zahlen eingetragen haben, sehen wir, dass wir ohne Hilfseins die 7 Tonnen auf 14 Tonnen bringen können, indem wir einfach \(\cdot2\) rechnen. Da der Zusammenhang Tonnen Sand \(\leftrightarrow\) Preis proportional ist, rechnen wir also auch rechts \(\cdot2\) und sind sofort fertig.

Beim Preis für 15 Tonnen jedoch klappt das nicht (wir können die 7, bzw. die 14 nicht sofort auf 15 bringen), ergo tragen wir unsere Hilfseins ein und rechnen nach dem bekannten Rezept.

Mehrsatz

Prinzipiell genauso wie Dreisatzaufgaben lassen sich auch Mehrsatzaufgaben mit Hilfe der oben vorgestellten Tabellen lösen. Wir stürzen uns direkt auf ein Beispiel:

1. Beispiel | Mehrsatz

Wenn 3 Bauarbeiter, die an 2 Tagen pro Woche arbeiten, 4 Holzhäuser in 8 Wochen fertigstellen, wie lange benötigen dann 12 Bauarbeiter für 20 Holzhäuser, wenn sie 4 Tage je Woche arbeiten?

Lösung:

Antwort: Sie benötigen 5 Wochen.

Genau wie bei den normalen Dreisatzaufgaben fertigen wir zum Lösen eine Tabelle an, wobei wir hier vier Spalten für die vier Angaben "Bauarbeiter", "Tage pro Woche", "Anzahl Häuser" und "Dauer in Wochen" benötigen.

In die erste Zeile tragen wir wie gewohnt alle Angaben ein.

Nun knöpfen wir uns eine Spalte nach der anderen vor und bringen die jeweilige Größe wie beim normalen Dreisatz durch Multiplikation oder Division auf die gesuchte Größe. Dabei lassen wir alle anderen Spalten gleich; nur in unserer Lösungsspalte rechnen wir wie gewohnt je nach Proportionalität oder Antiproportionalität.

Beginnen wir also mit der Anzahl der Arbeiter: Da nach 12 Arbeitern gefragt ist, rechnen wir dort "mal 4", lassen alle anderen Spalten gleich und rechnen in der Lösungsspalte "durch 4", da der Zusammenhang "Anzahl Arbeiter → Dauer" antiproportional ist (je mehr Arbeiter, desto weniger Bauzeit). 12 Arbeiter brauchen bei 2 Tagen je Woche und 4 Häusern also 2 Wochen.

Weiter mit den Tagen je Woche: Um diese auf 4 zu bringen, rechnen wir mal 2 - und da der Zusammenhang wieder antiproportional ist rechnen wir hinten durch 2 (je mehr Tage wir pro Woche arbeiten, desto weniger Bauzeit insgesamt).

Schließlich bringen wir die 4 Häuser durch Multiplikation mit 5 auf 20 Häuser; da dieser Zusammenhang allerdings proportional ist (je mehr Häuser, desto länger brauchen wir) rechnen wir hinten auch mal 5.

Nun haben wir alle Größen auf die geforderten Werte gebracht und können die Lösung ablesen.