Punkt-Vor-Strich & Klammern

In diesem Kapitel leiten wir die Reihenfolge für die Rechenoperatoren her - wer lediglich die Regeln wissen will, findet unten eine Zusammenfassung.

Warum also braucht man überhaupt Regeln, nach denen man mathematische Operatoren wie \(+\), \(-\), \(\cdot\) und \(\div\) in einer bestimmten Reihenfolge abarbeiten muss?

Nun, ohne solcher Regeln erhielte man zum Beispiel bei \(1+2\cdot4\) unterschiedliche Ergebnisse - es käme darauf an, ob man zum Beispiel von links nach rechts oder von rechts nach links rechnete.

Natürlich ist es nicht besonders vorteilhaft, wenn verschiedene Personen beim selben Term unterschiedliche Ergebnisse erhalten - Terme sollten immer eindeutig sein, so dass es egal ist, wer den Term berechnet.

Um das zu gewährleisten, gibt es eine Reihenfoge, nach der man mathematische Operatoren abarbeiten muss - diese wird hier vorgestellt.

Wir betrachten dazu Rechnungen mit unterschiedlichen Operatoren; und wenn verschiedene Ergebnisse herauskommen, stellen wir eine Regel auf.

Unser Beispielterm \(1+2\cdot4\) hat jetzt die eindeutige Lösung \(9\), denn der Satz zwingt uns dazu, die Multiplikation zuerst durchzuführen. Ab jetzt ist es also egal, wer den Term berechnet - die Lösung ist immer \(1+2\cdot4=1+8=9\).

Wir hätten übrigens genauso gut das Gegenteil festlegen können (erst Plus dann Mal) - einen mathematischen Grund für "Mal vor Plus" gibt es nicht. Wir werden allerdings gleich feststellen, warum diese Festlegung trotzdem ziemlich sinnvoll ist.

Um das zu verstehen, müsen wir noch einmal kurz über die Operatoren selbst sprechen.

Was genau bedeutet \(3\cdot7\) - was also beschreibt die Multiplikation? Spricht man die Rechnung aus, wird sofort deutlich, dass "dreimal 7" soviel bedeutet wie \(7+7+7\) - die Multiplikation beruht also auf der Addition, bzw. ist sie eine Kurzschreibweise für das mehrmalige Addieren derselben Zahl.

Genauso beschreibt das Dividieren ein mehrmaliges Subtrahieren derselben Zahl, so ist \(12\div6=2\), da man die \(6\) zweimal von der 12 abziehen kann: \(12-6-6=0\).

Zurück zu unserem Beispielterm \(1+2\cdot4\). Das "zweimal 4" hinten ist also wie gesagt eine Kurzschreibweise für \(4+4\), der Term lautet also ausgeschrieben \(1+4+4\). Nun liegen nur noch Strichrechnungen vor - und hier haben wir bereits gesehen, dass es egal ist, wie wir rechnen, wir erhalten stets \(1+4+4=9\). Dieses Ergebnis erhalten wir bei \(1+2\cdot4\) wie oben gesehen allerdings nur bei "Mal vor Plus" - es macht also Sinn, das auch so festzulegen.

Genaugenommen sagt der Satz "Mal vor Plus" also lediglich: "Wenn Du Kurzschreibweisen wie Mal benutzt, musst Du sie auch zuerst ausrechnen - sonst erhältst Du womöglich unterschiedliche Ergebnisse!"

An diesem letzten Satz orientieren sich alle Reihenfolgenregeln der Mathematik - wir halten ihn direkt ordentlich fest.

Der aus der Schule bekannte Satz "Punkt vor Strich" stimmt also, weil Punktrechnungen abgekürzte Strichrechnungen sind.

Wer von euch kennt denn eine Kurzschreibweise für Punktrechnungen?

Richtig, man kann Punktrechnungen durch Potenzen abkürzen, etwa läßt sich \(2\cdot2\cdot2\) kürzer als \(2^3\) schreiben. Nach unserem Satz müssen wir beim Term \(5\cdot2^3\) also zuerst die Potenz und dann die Multiplikation berechnen, also ist \(5\cdot2^3=5\cdot8=40\). Und auch hier stimmts, bzw. ist es sinnvoll, denn ausgeschrieben meinen wir mit \(5\cdot2^3\) ja \(5\cdot2\cdot2\cdot2\) - und hier erhalten wir egal wie wir rechnen das Ergebnis \(40\).

Wir müssen uns zum richtigen Abarbeiten verschiedener Operatoren also insgesamt nur merken, welche Rechenoperatoren auf anderen aufbauen - zack, schon wissen wir, welche Rechnung ggf. eine Kurzschreibweise ist, die wir bevorzugt behandeln müssen. Wie die Operatoren aufeinander aufbauen wisst ihr wahrscheinlich ohnehin schon - zu merken gibt′s dann nichts mehr:

Schließlich merken wir uns, dass es bei Kurzschreibweisen derselben Stufe egal ist, in welcher Reihenfolge wir sie berechnen. Insgesamt erhalten wir:

Was aber macht man, wenn man Terme aufstellen will, bei denen man nicht in der gerade gelernten Reihenfolge rechnen möchte?

Kennt ihr zum Beispiel diese Rechenketten von früher, bei denen man zwischendurch Ergebnisse angibt und mit ihnen ewig weiterrechnet? Etwa: "Was ist 4 plus 7? Antwort: 11. Und das mal 3? Antwort: 33. usw.."

Wie kann ich das als Term angeben, wenn \(4+7\cdot3\) ja eine andere Reihenfolge erzwingt (erst \(7\cdot3\) und danach \(+4\)).

Antwort: Klammern! Mit Klammern kann man erzwingen, dass entgegen der normalen Reihenfolge gerechnet werden soll. Unsere Beispielrechenkette wäre also der Term \((4+7)\cdot3\). Die Klammer erzwingt, dass man nun zuerst \(4+7=11\) und erst anschließend \(11\cdot3=33\) berechnen muss!