Rechenregeln

Kapiteleintrag

Kommutativgesetz

Man darf zwei Zahlen in beliebiger Reihenfolge addieren oder multiplizieren.

\(a+b=b+a\)
\(a\cdot{b}=b\cdot{a}\)

Das Kommutativgesetz ist wirklich kinderleicht. Es besagt, dass zum Beispiel \(3+7\) das gleiche ist wie \(7+3\). Klar, dass das stimmt. Isst man etwa zuerst drei Gummibärchen und dann sieben, so hat man genauso viele Gummibärchen gegessen, als würde man erst sieben und dann drei essen (nämlich 10).

Wir erweitern direkt zum Assoziativgesetz:

Assoziativgesetz

Beliebig viele Summanden dürfen in beliebiger Reihenfolge addiert werden.

\((a+b)+c=a+(b+c)\)

Beliebig viele Faktoren dürfen in beliebiger Reihenfolge multipliziert werden.

\((a\cdot{b})\cdot{c}=a\cdot(b\cdot{c})\)

Das Assoziativgesetz ist sozusagen die Verallgemeinerung des Kommutativgesetzes: Es ist bei mehreren Summanden (bzw Faktoren) egal, welche Summanden (Faktoren) man zuerst zusammenfasst - die Lösung ist stets gleich.

Manchmal ist es schlauer, Terme nicht von rechts nach links zu berechnen, da man bei einer anderen Reihenfolge bessere Zwischenergebnisse erhält. Zwei Beispiele:

Leichtere Berechnung Dank Assoziativgesetz

Beispiel Addition:

\(987+3.659+13=???\)

\((987+13)+3.659=4.659\)

Beispiel Multiplikation

\(25\cdot53\cdot4=???\)

\((25\cdot4)\cdot53=5.300\)

zur Addition:
Statt von links nach rechts die komplizierte Rechnung \(987+3.659\) zu bestimmen, rechnet man lieber erst \(987+13\) - das ergibt ja genau 1.000. Die Summe aller drei Zahlen ergibt also 4.659.

zur Multiplikation:
Auch hier ist es schlauer, nicht von links nach rechts zu rechnen. Mit dem schönen Ergebnis \(25\cdot4=100\) muss man an die 53 jetzt nur noch zwei Nullen anhängen.

Distributivgesetz

Klammern werden ausmultipliziert, indem man jeden Summanden der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert.

\(a\cdot(b+c)=a\cdot{b}+a\cdot{c}\)

Auch das Distributivgesetz ist eigentlich ein intuitives Gesetz. Berechnet man etwa \(3\cdot17\) im Kopf, so rechnen die meisten wohl \(3\cdot10+3\cdot7=30+21=51\). Das Distributivgesetz besagt hierbei gerade, dass das erlaubt ist, nämlich \(3\cdot17=3\cdot(10+7)=3\cdot10+3\cdot7\).

Zum Abschluss noch ein kleiner Hinweis: Warum gibt es eigentlich keine solchen Gesetze für die Subtraktion bzw. Division?

Die erste Antwort die einem hier einfällt lautet: "Weil die Gesetze für die Subtraktion, bzw. Division nicht gelten", etwa ist \(7-3\ne3-7\) oder \(4\div2\ne2\div4\).

Das ist allerdings nur die halbe Wahrheit - denn genaugenommen gelten die Gesetze eben doch für alle Grundrechenarten:

1. Eine Differenz läßt sich immer auch als Summe schreiben - statt \(7-3\) kann man nämlich \(7+(-3)\) schreiben und siehe da: Das Kommutativgesetz gilt: \(7+(-3)=4=-3+7\)

2. Man ahnt es schon: Auch eine Division läßt sich umschreiben, hier natürlich in eine Multiplikation. Bei unserem Beispiel ist \(4\div2=4\cdot\frac12\) und auch jetzt gilt das Kommutativgesetz wieder: \(4\cdot\frac12=2=\frac12\cdot4\).

Um die richtige Berechnung der vier Grundrechenarten \(+\), \(-\), \(\cdot\) und \(\div\) zu gewährleisten, braucht man also nur Gesetze für die Addition und Multiplikation!