Quersumme

Kapiteleintrag

Die Quersumme einer ganzen Zahl ist einfach die Summe der einzelnen Ziffern.

Quersummen

Die Quersumme von \(15\) ist \(6\), denn
\(1+5=6\)

Die Quersumme von \(2.006\) ist \(8\), denn
\(2+0+0+6=8\)

Die Quersumme von \(1.234.567\) ist \(28\), denn
\(1+2+3+4+5+6+7=28\)

Addiert man die Ziffern der Zahl 15 erhält man \(1+5=6\) - die Quersumme ist also \(6\).

Für die anderen Beispiele reicht denke ich ein "siehe oben".

Okay, das ist leicht. Kann man mit der Quersumme denn irgendwas machen?

Es gibt diverse Prüfverfahren, für die die Quersumme herangezogen wird. Für unsere Schulmathematik ist das allerdings unwesentlich. Die einzige für uns relevante Quersummen-Eigenschaft ist der Test auf Teilbarkeit durch \(9\) oder \(3\).

3er-Regel

Eine Zahl ist durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist.

9er-Regel

Eine Zahl ist durch \(9\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(9\) teilbar ist.

Um schnell zu testen, ob eine Zahl ohne Rest durch 3 oder 9 teilbar ist, kann man also einfach die Quersumme bilden und hier die jeweilige Teilbarkeit testen. Die Quersumme ist ja immer eine viel kleinere Zahl.

Teilbar durch 3?

Ist \(1.205.886\) durch \(3\) teilbar?

Quersumme:
\(1+2+0+5+8+8+6=30\)

\(\Rightarrow1.205.886\) ist durch 3 teilbar

Die Quersumme von 1.205.886 ist 30.

Da 30 durch 3 teilbar ist, kann man auch 1.205.886 ohne Rest durch 3 teilen.

Teilbar durch 9?

Ist \(7.106.325\) durch \(9\) teilbar?

Quersumme:
\(7+1+0+6+3+2+5=24\)

\(\Rightarrow7.106.325\) ist nicht durch 9 teilbar

Hier ist die Quersumme 24 und da man das nicht ohne Rest durch 9 teilen kann, ist auch 7.106.325 nicht ohne Rest durch 9 teilbar.

PS: Man sieht aber, dass beide Zahlen durch 3 teilbar sind!

Wenn die Quersumme für den Teilbarkeitstest selbst zu groß ist, kann man einfach die Quersumme der Quersumme oder die Quersumme der Quersumme der Quersumme, usw. bilden und am Ergebnis die Teilbarkeit testen. Natürlich gelten 3er- und 9er-Regel auch für die Quersummen selbst.

Teilbar durch 3?

Ist \(27.789.967.881\) durch \(3\) teilbar?

1. Quersumme:
\(2+7+7+8+9+9+6+7+8+8+1=72\)

2. Quersumme:
\(7+2=9\)

\(\Rightarrow27.789.967.881\) ist durch 3 teilbar

Äh gut, natürlich sieht man auch ohne zweiter Quersumme, dass 72 durch 3 teilbar ist - wir brauchten aber ein Beispiel.

Wie man sieht, steigt die Quersumme nicht sonderlich schnell an - man braucht also schon sehr sehr große Zahlen, damit überhaupt eine zweite Quersumme benötigt wird.

Zwischen den Zeilen sieht man am Beispiel übrigens, dass eine Zahl offenbar genau dann durch 9 teilbar ist, wenn die Quersumme der Quersumme der Quersumme usw. irgendwann die 9 selbst ergibt.