ggT und kgV

Kapiteleintrag

Mit dem größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl gemeint, durch die man beide Ausgangszahlen teilen kann. Der ggT etwa von 24 und 36 ist 12, denn 12 ist die größte Zahl, durch die man sowohl 24 als auch 36 teilen kann.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) hingegen ist die kleinste Zahl, die durch beide Ausgangszahlen ohne Rest teilbar ist. Das kgV von 24 und 36 etwa ist 72, denn \(72\div24=3\) und \(72\div36=2\) - beide Zahlen sind also ganzzahlige Teiler von 72 (und 72 ist die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft).

Sowohl der ggT, als auch das kgV gehen aus den Primfaktorzerlegungen der Ausgangszahlen hervor.

ggT

Der ggT ist das Produkt aus denjenigen Zahlen, die in beiden Primfaktorzerlegungen der Ausgangszahlen vorkommen.

kgV

Das kgV ist das Produkt aus allen Faktoren, die in mindestens einer Primfaktorzerlegung der Ausgangszahlen vorkommen. Primfaktoren, die in beiden Ausgangszahlen stecken werden hierbei nur einmal berücksichtigt.

Was sich vielleicht recht kompliziert anhört, ist in der eigentlichen Berechnung meist nicht so schwer. Berechnen wir ein paar Beispiele.

1. Beispiel

ggT und kgV von 24 und 36

Primfaktorzerlegungen

\(24=2\cdot2\cdot2\cdot3\)

\(36=2\cdot2\;\;\;\;\;\cdot3\cdot3\)

ggT & kgV

\(\Rightarrow{g}gT(24;36)=2\cdot2\cdot3=12\)

\(\Rightarrow{k}gV(24;36)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=72\)

Um die richtigen Faktoren für ggT und kgV schnell ablesen zu können, schreibt man die Primfaktorzerlegungen der Ausgangszahlen am besten wie links angegeben so auf, dass gleiche Faktoren untereinander stehen.

Der ggT besteht nun aus allen Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen - hier also \(2\cdot2\cdot3\).

Das kgV besteht aus allen Primfaktoren, die in mindestens einer Ausgangszahl vorkommen. Wir benötigen also drei 2en für die 24 (somit sind auch die beiden 2en der 36 abgedeckt) und zwei 3en für die 36 (somit ist auch die eine 3 der 24 abgedeckt).

Die Angabe von ggT und kgV sind oft bei Brüchen hilfreich, um möglichst schnell passend kürzen oder erweitern zu können. Außerdem kann man an Brüchen schön sehen, warum die Verfahren zum Ermitteln von ggT und kgV überhaupt funktionieren. Dazu folgende Beispiele:

Zusammenhang ggT & Kürzen, bzw. kgV & Erweitern

Primfaktorzerlegungen

\(24=2\cdot2\cdot2\cdot3\)

\(36=2\cdot2\;\;\;\;\;\cdot3\cdot3\)

ggT & kgV

\(\Rightarrow{g}gT(24;36)=2\cdot2\cdot3=12\)

\(\Rightarrow{k}gV(24;36)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=72\)

Kürzen und ggT

\(\require{cancel}\frac{24}{36}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot3\;\;}{2\cdot2\;\;\cdot3\cdot3}=\frac{\cancel{2}^1\cdot\cancel{2}^1\cdot2\cdot\cancel{3}^1\;\;}{\cancel{2}_1\cdot\cancel{2}_1\;\;\cdot\cancel{3}_1\cdot3}=\frac23\)

\(\require{cancel}\frac{24}{36}=\frac{2\cdot2\cdot3\cdot2}{2\cdot2\cdot3\cdot3}=\frac{12\cdot2}{12\cdot3}=\frac{\cancel{12}^1\cdot2}{\cancel{12}_1\cdot3}=\frac23\)

Erweitern und kgV

\(\frac1{24}+\frac1{36}\)

\(=\frac1{2\cdot2\cdot2\cdot3}+\frac1{2\cdot2\cdot3\cdot3}\)

\(=\frac{1\color{#EE4D2E}{\cdot3}}{2\cdot2\cdot2\cdot3\color{#EE4D2E}{\cdot3}}+\frac{1\color{#EE4D2E}{\cdot2}}{2\cdot2\color{#EE4D2E}{\cdot2}\cdot3\cdot3}\)

\(=\frac3{72}+\frac2{72}=\frac5{72}\)

Um den Bruch \(\frac{24}{36}\) zu kürzen, setzen wir die Primfaktorzerlegungen von 24 und 36 ein und sehen schnell, welche Faktoren kürzbar sind: 24 und 36 beinhalten beide je zweimal die 2 und eine 3 (als Faktoren) - diese lassen sich also kürzen.

Da sonst nichts doppelt vorkommt, ist der Bruch anschließend vollständig gekürzt. Insgesamt kann man sowohl 24 als auch 36 also durch zweimal die 2 und einmal die 3 ganzzahlig teilen - der ggT ist also \(2\cdot2\cdot3=12\). Übrigens kann man an den Primfaktorzerlegungen obendrein sehen, welche Zahlen überbleiben: Da etwa \(24=2\cdot2\cdot2\cdot3\) ist, bleibt hier nach dem Kürzen des ggT eine 2 übrig - mit \(36=2\cdot2\cdot3\cdot3\) analog eine 3.

Nun zum Erweitern und kgV: Um Brüche addieren zu können, müssen sie durch Erweitern gleichnamig gemacht - also auf den gleichen Nenner gebracht werden. Nur worauf lassen sich 24 und 36 am besten erweitern?

Setzen wir auch hier wieder die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen ein, sehen wir schnell, welche Faktoren fehlen, um gleiche Nenner zu erhalten: Bei der 24 fehlt eine 3 und bei der 36 eine 2 (als Faktor). Erweitern wir die Brüche entsprechend, haben wir sie nicht nur irgendwie gleichnamig, sondern optimal gleichnamig auf das kgV 72 gebracht.

Bevor wir abschließend noch ein paar Beispiele durchrechnen, noch der Hinweis, dasss man zwei Zahlen teilerfremd nennt, wenn ihr ggT 1 ist (etwa haben 3 und 5 den ggT 1, sie sind teilerfremd. Im Hinblick auf Brüche ist der Bruch \(\frac35\) unkürzbar). Da teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist ihr kgV stets das Produkt der beiden Zahlen (das kgV von 3 und 5 ist \(3\cdot5=15\)).

2. Beispiel

ggT und kgV von 90 und 126

Primfaktorzerlegungen

\(90\;\,=2\cdot3\cdot3\cdot5\)

\(126=2\cdot3\cdot3\;\;\;\cdot7\)

ggT & kgV

\(\Rightarrow{g}gT(90;126)=2\cdot3\cdot3=18\)

\(\Rightarrow{k}gV(90;126)=2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7=630\)

An den Primfaktorzerlegungen sieht man, dass die doppelten Faktoren 2, 3 und 3 sind - der ggT also \(2\cdot3\cdot3=18\) ist. Außerdem bleibt bei der 90 eine 5 übrig (\(90\div18\) ist also 5) und bei der 126 eine 7 (\(126\div18\) ist also 7).

Um jeweils alle Faktoren für das kgV zu berücksichtigen, brauchts die Faktoren 2, 3, 3, 5 und 7 - das kgV ist also 630. Da bei der 90 eine 7 fehlt, erreicht man das kgV durch \(7\cdot90=630\) - bei der 126 fehlt analog eine 5, es ist also \(126\cdot5=630\).

3. Beispiel

ggT und kgV von 8 und 21

Primfaktorzerlegungen

\(8\;\,=2\cdot2\cdot2\)

\(21=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3\cdot7\)

ggT & kgV

\(\Rightarrow{g}gT(8;21)=1\)

\(\Rightarrow{k}gV(8;21)=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7=168\;(=8\cdot21)\)

Oha, 8 und 21 haben keine gemeinsamen Primfaktoren - sie sind teilerfremd, ihr ggT ist 1 (ggT=1 bedeutet soviel wie "es gibt keinen ggT". Beachte dazu den unkürzbaren Bruch \(\frac8{21}\)).

Demnach besteht das kgV einfach aus dem Produkt aller Primfaktoren (da es keine doppelten Faktoren gibt, können wir auch keinen Faktor auslassen). Entsprechend ist das kgV von 8 und 21 das Produkt der Zahlen selbst: \(8\cdot21=168\).

4. Beispiel

ggT und kgV von 34 und 102

Primfaktorzerlegungen

\(34\;\,=2\;\;\;\;\,\cdot17\)

\(102=2\cdot3\cdot17\)

ggT & kgV

\(\Rightarrow{g}gT(34;102)=2\cdot17=34\)

\(\Rightarrow{k}gV(34;102)=2\cdot3\cdot17=102\)

Diese Rechnung ist mehr ein Fake als eine ernstgemeinte ggT- und kgV-Suche. 34 ist ja ein Teiler von 102 (es ist \(3\cdot34=102\)).

Natürlich ist die 34 dann der ggT (beide Zahlen lassen sich durch 34 teilen) und 102 das kgV (beide Zahlen lassen sich auf 102 bringen).