Komplexe Zahlen

Kapiteleintrag

Immer, wenn Mathematiker eine Rechnung mit ihren bekannten Zahlen nicht lösen können, führen sie einfach neue Zahlen ein.

Nach den positiven ganzen Zahlen wurden so zum Beispiel negative Zahlen eingeführt (da man \(1-2\) nicht lösen konnte), rationale Zahlen eingeführt (da man \(1\div2\) nicht lösen konnte) oder irrationale Zahlen eingeführt (da man \(x^2=2\) nicht lösen konnte).

Ähnlich verhielt es sich bei der Lösung von \(x^2=-1\). Erst hielt man diese Gleichung lange für unlösbar, schließlich aber führte man die komplexen Zahlen, bzw. \(i=\sqrt{-1}\) ein.

\(i^2:=-1\)

Mit \(i\) lassen sich bereits alle negativen Wurzeln berechnen.

\(x^2=-9\)

\(x^2=-9\)
\(\Rightarrow{x}=\sqrt{-9}\)
\(\Rightarrow{x}=\sqrt{(-1)\cdot9}\)
\(\Rightarrow{x}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt9\)
\(\Rightarrow{x}=3i\)

Die mit reelen Zahlen unlösbare Gleichung \(x^2=-9\) läßt sich nun lösen.

Eine negative Zahl kann als "(-1) mal positive Zahl" geschrieben werden. Nutzt man nun aus, dass man Wurzeln aus jedem Faktor einzeln ziehen darf, erhält man als Lösung \(3i\).

Noch lassen sich aber nicht alle ganzrationalen Gleichungen lösen, denn diese haben nicht immer reine Wurzeln als Lösung.

\(x^2-2x+2=0\)

\(x^2-2x+5=0\)
\(\Rightarrow{x}_{1/2}=\frac22\pm\sqrt{(\frac22)^2-5}\)
\(\Rightarrow{x}_{1/2}=1\pm\sqrt{-4}\)
\(\Rightarrow{x}_1=1+2i\vee{x}_2=1-2i\)

Diese Quadratische Gleichung wird mit pq-Formel gelöst.

Da wir unter der Wurzel eine negative Zahl haben, erhalten wir wieder nur mit Hilfe der komplexen Zahlen Lösungen - mit \(\sqrt{-4}=\sqrt{(-1)}\cdot\sqrt4\) ist \(x=1+2i\vee{x}=1-2i\).

Möchten wir also komplexe Zahlen einführen, um alle ganzrationalen Gleichungen lösen zu können, dann sollten diese die Form \(c=a+b\cdot{i}\) haben. Und genau so sind komplexe Zahlen definiert:

Komplexe Zahlen haben die Form:
\(a+b\cdot{i}\)

Man nennt \(a\) den Real- und \(b\) den Imaginärteil.

Und wo liegen diese neuen, komplexen Zahlen auf dem Zahlenstrahl?

Jede reele Zahl des Zahlenstrahls hat unendlich viele komplexe Partner, da man den Imaginärteil ja jeweils beliebig wählen kann. Zeichnete man all diese Partner, so müsste man durch jede reele Zahl eine neue Achse zeichnen, auf der die verschiedenen Imaginärteile liegen - es entsteht eine Zahlenebene.