Mathematische Konstanten

Die Kreiszahl
Pi gibt das Verhältnis von Kreisdurchmesser zum Umfang an und (etwas verblüffend) gleichzetig das Verhältnis vom Quadrat des Radius zur Fläche.

Erstmals bestimmt wurde Pi im alten Ägypten - eine Aufzeichnung von \(\frac{\pi}4\) wurde auf dem Papyrus Rhind gefunden (der übrigens nach seinem Entdecker und nicht nach seinem Autor Ahmes benannt ist). Wieso wurde erst Pi-Viertel gefunden? Weil dies das Verhältnis einer Kreisfläche zum umschreibenden Quadrat ist (also zum Durchmesserquadrat).

Heute ist Pi neben der bloßen Hilfe bei Kreisberechnungen zu einer Art Multifunktionszahl der Zahlentheorie mutiert, lassen sich mit ihr doch viele konvergente Reihen berechnen oder andere Zusammenhänge, etwa in den Primzahlen, finden.

Die Kurzschreibweise \(e\) hat Leonhard Euler eingeführt - aus diesem Grund nennen wir \(e\) heute die eulersche Zahl. Gefunden wurde die Zahl zwar schon zuvor (bei Berechnungen zu Logarithmen; auch Eulers Lehrer, Bernoulli hatte bereits Forschungen über \(e\) angestellt), Euler war aber der erste, der die große Bedeutung von \(e\) in der Analysis erkannt hatte. Er stellte nämlich fest, dass eine Funktion, die mit ihren y-Werten gleichzeitig die dortige Steigung angibt \(f(x)=2{,}71828..^x\) heißen müsste - eben \(f(x)=e^x\).

Heute ist \(e\) bei der Bechreibung natürlicher Prozessen omnipräsent und aus der modernen Analysis nicht mehr wegzudenken.

Wieder von Euler eingeführt - die Schreibweise \(i\) als Lösung für die ansonsten unlösbare Rechnung \(\sqrt{-1}\).

Schon lange vor Euler war man sich bewusst, dass es quadratische Gleichungen gibt, die keine Lösungen besitzen. Eine sehr einfache dieser Gleichung lautet \(x^2+1=0\). Formt man diese um, erhält man \(x^2=-1\), bzw. \(x=\sqrt{-1}\). Rechnet man nun mit reelen Zahlen weiter, fällt schnell auf, dass die einzigen möglichen Kandidaten \(+1\) und \(-1\) beide quadriert \(+1\) ergeben - man wird also keine Lösung finden können, die quadriert \(-1\) ergibt.

Eigentlich hatten Mathematiker in allen Epochen solche Probleme - als man zum Beispiel nur ganze Zahlen kannte, konnte man zwar \(10\div5=2\) berechnen, nicht aber \(5\div2\), denn das Ergebnis war keine ganze Zahl. Um weiterrechnen zu können haben Mathematiker einfach neue Zahlen eingeführt, bei \(5\div2\) Brüche - und bei \(\sqrt{-1}\) Imaginäre Zahlen. Anders als beim Einführen von Brüchen (die man in der Natur ja schnell nachvollziehen kann, etwa einen halben Kuchen) wurden imaginäre Zahlen nicht so schnell akzeptiert - erst Euler eben gelang es, \(i\) wirklich zu etablieren.

Man braucht übrigens nur \(i\), um gleich alle zuvor unlösbaren Wurzeln zu berechnen, etwa ist \(\sqrt{-9}=\sqrt{-1\cdot9}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt9=i\cdot3=3i\).

Später stellte man Rechenregeln für komplexe Zahlen auf (etwa Hamilton), so dass wir heute einen gar zauberhaften Garten an neuen, imaginären Zahlen haben.

Noch ein kleiner Hinweis: Ist 5 eine Primzahl? Klar. Obwohl: \((2+i)(2-i)=2^2-i^2=4-(-1)=5\). Primzahlen in den reelen Zahlen müssen im Komplexen also gar nicht immer Prim sein!

Teilt man eine Strecke derart, dass das Verhältnis der größeren Strecke zur Gesamtlänge genauso groß ist, wie das Verhältnis von kleinerer zu großer Seite, so beträgt das Verhältnis \(\varphi\).

Gefunden wurde Phi schon in der Antike, etwa von Euklid. Neben mathematischer Bedeutung findet sich der Goldene Schnitt auch in vielen Kunstwerken oder gibt Proportionen in der Natur an.