Zahlenmengen

Die ersten Zahlen, die wir schon im Kindesalter kennenlernen sind die Zählzahlen 1, 2, 3, usw., man nennt sie die Natürlichen Zahlen.

Eine weitere Zählzahl ist die 0, sie gibt an, dass es kein Objekt gibt. Leider ist allgemein nicht festgelegt, ob man die 0 den Natürlichen Zahlen zuordnen soll. Man kann \(\mathbb{N}\) also auch mit der 0 angeben.

Sofern man mit Zahlen nur Objekte zählen möchte, reichen die Natürlichen Zahlen aus - es gibt nur entweder eine positive Anzahl an Objekten oder eben keins, bzw. 0.

Mathematiker möchten mit Zahlen aber rechnen können - und da stößt man recht schnell auf ein Problem: Hat man nur positive, ganze Zahlen zur Verfügung, lassen sich Objekte zwar beliebig addieren (z.B. ist \(33+7=40\) eine Rechnung, bei der alle Zahlen in \(\mathbb{N}\) sind), nicht jedoch subtrahieren (was ist \(3-7\)?). Damit man alle Subtraktionen durchführen kann, benötigt man auch negative Zahlen. Nimmt man diese zu den Natürlichen Zahlen mit auf, erhält man die Ganzen Zahlen.

Okay, addieren und subtrahieren klappt mit den Ganzen Zahlen. Wie ist das mit multiplizieren? Offenbar klappt das auch - multiplizieren wir eine Ganze Zahl mit einer Ganzen Zahl, erhalten wir wieder eine Ganze Zahl, zum Beispiel \(3\cdot5=15\), \((-2)\cdot4=-8\) oder \((-1)\cdot(-6)=6\).

Probleme kann es aber beim Dividieren geben: \(12\div3=4\) klappt, aber was ist mit \(12\div5\)?

Um alle Divisionen durchführen zu können, brauchen wir auch Kommazahlen - zusammen mit den Ganzen Zahlen erhalten wir so die Rationalen Zahlen

Mit den Rationalen Zahlen lassen sich nun also alle Grundrechenarten durchführen - das Ergebnis ist immer eine Rationale Zahl die uns bereits zur Verfügung steht.

Leider lassen sich mit den Rationalen Zahlen aber nicht alle Wurzeln berechnen - zwar ist \(\sqrt{25}=5\) in \(\mathbb{Q}\), was aber ist zum Beispiel \(\sqrt2\)?

Um auch alle Wurzeln (bzw. alle Potenzen mit rationalem Exponenten) berechnen zu können, benötigen wir die Reelen Zahlen*.

*Man kann beweisen, dass man bestimmte Wurzeln wie etwa \(\sqrt2\) nicht als Bruch schreiben kann.

Okay, jetzt können wir alle Wurzeln berechnen - oder?

Was ist mit \(\sqrt{-1}\)? Multipliziert man eine Reele Zahl mit sich selbst, erhält man ja immer eine positive Zahl - Quadratwurzeln aus negativen Zahlen können wir also immernoch nicht angeben.

Dazu benötigen wir die Imaginären Zahlen - diese enthalten die Zahl \(i\), welche gerade als Lösung von \(\sqrt{-1}\) definiert ist.

Damit wir mit den Imaginären Zahlen jetzt nicht nur die Wurzel aus minus Eins, sondern direkt alle Wurzeln bestimmen können, nehmen wir nicht nur \(i\) selbst, sondern direkt alle Lösungen von negativen Wurzeln mit auf, zum Beispiel auch \(\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot(-1)}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}=2\cdot{i}\).

Schließlich nehmen wir auch noch Zahlen wie \(1+i\) mit auf, damit wir auch aus unseren neuen Zahlen alle Wurzeln ziehen können, siehe \((1+i)^2=1^2+2\cdot{i}+{i}^2=1+2i-1=2i\), offenbar läßt sich die Wurzel aus \(2i\) dann also angeben.

Zum Abschluss noch der Hinweis, dass es obwohl wir nun alle Rechnungen anstellen können, immer noch Zahlen gibt, die wir noch nicht erfasst haben. Die erste Zahl, von der man wusste, dass sie weder in den Reelen, noch in den Komplexen Zahlen vorkommt, ist die Champernowne-Konstante. Man erhält sie, indem man die Natürlichen Zahlen als Nachkommastellen aneinanderreiht, also

\(C=0{,}12345678910111213...\). Diese Zahl kann man nicht als Lösung einer Gleichung mit den genannten Rechenoperatoren wie Plus, Minus, Mal, Geteilt oder Potenzieren erhalten. Trotzdem gibt es die Zahl.

Es stellt sich sogar heraus, dass wir mit den Komplexen Zahlen unendlich viele Zahlen wie die Champernowne-Konstante vergessen haben. Ein weiteres Beispiel einer solchen Zahl sind die Fluxione, bzw. infinitesimal kleinen Zahlen von Newton, bzw. Leibniz: So ist die "kleinstmögliche positive Zahl" nicht in \(\mathbb{R}\), denn wäre sie zum Beispiel die Zahl \(x\in\mathbb{R}\), so fehlte die Zahl \(\frac{x}2\) die offenbar noch kleiner ist.

Zahlen dieser Art werden wie gesagt zum Lösen normaler Rechnungen nicht gebraucht - wir begnügen uns also mit den Reelen, bzw. Komplexen Zahlen.