Ebene Figuren

Ein Viereck mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck.

Man ermittelt die Fläche eines Rechtecks, indem man Breite mal Höhe rechnet - stelle Dir dazu vor, man würde in der Zeichnung links a-mal eine Leiste der Länge b nebeneinanderlegen.

Der Umfang von Rechtecken wird durch \(U=2a+2b\) bestimmt - stelle Dir dazu vor, man wolle das Rechteck einzäunen. Man bräuchte Zaun für unten (a), oben (a), links (b) und rechts (b).

Zum Kapitel: Das Rechteck

Ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, heißt Quadrat.

Man ermittelt die Fläche eines Quadrats wie immer durch Breite mal Höhe, wobei hier Breite und Höhe gleich groß sind.

Ein Quadrat wird viermal von der Seite a begrenzt, der Umfang ist also \(U=4a\).

Zum Kapitel: Das Quadrat

Vierecke, bei denen die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleichlang sind, nennt man Parallelogramm (Rechtecke sind demnach auch Parallelogramme).

Man ermittelt die Fläche durch \(A=a\cdot{h}\), wobei zu beachten ist, dass mit Höhe nicht die Seitenlänge \(b\) gemeint ist. Durch \(A=a\cdot{h}\) ermittelt man eigentlich die Fläche eines Rechtecks, doch siehe da: Schneidet man das Dreieck links der eingezeichneten Höhe ab und legt es rechts wieder an das Parallelogramm, so entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen \(a\) und \(h\) (bewege die Maus über das Bild).

Der Umfang wird durch \(U=2a+2b\) bestimmt, wobei \(b\) die schräge Seitenlänge ist.

Zum Kapitel: Das Parallelogramm

Wenn bei einem Viereck nur zwei Seiten parallel sind, so handelt es sich um ein Trapez.

Um die Fläche eines Trapezes zu bestimmen, setzt man das gleiche Trapez noch einmal umgekehrt daneben und erkennt, dass man ein Rechteck erhält, wenn man die überstehende Ecke geeignet verschiebt (Maus übers Bild). Die Fläche des Rechtecks wird durch \(A=(a+c)\cdot{h}\) berechnet - und da sie zwei Trapeze beinhaltet, ist die Fläche eines Trapezes genau halb so groß.

Für den Umfang muss man alle Seitenlängen addieren - beachte dazu, dass \(b\ne{d}\) ist, die Seiten rechts und links also nicht gleich lang sein müssen.

Zum Kapitel: Das Trapez

Bei einem Drachenviereck schneiden sich die Diagonalen orthogonal (rechtwinklig), wobei die eine Diagonale die andere genau halbiert.

Die Fläche wird durch \(A=\frac{d\cdot{e}}2\) bestimmt, denn mit \(A=d\cdot{e}\) erhielte man die Fläche des umgebenen Rechtecks, welches genau doppelt so groß ist, wie das Drachenviereck (Maus übers Bild).

Der Umfang wird durch \(U=2a+2b\) bestimmt, denn beim Drachenviereck sind besagte Seiten gleich lang.

Zum Kapitel: Das Drachenviereck

Ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, nennt man Raute (beachte, dass ein Quadrat zusätzlich vier rechte Winkel benötigt). Außerdem ist eine Raute ein Drachenviereck, bei dem nicht nur eine Diagonale senkrecht halbiert wird, sondern beide.

Da Rauten also besondere Drachenvierecke sind, kann man ihre Flächen auch mit der selben Formel, also mit \(A=\frac{d\cdot{e}}2\) bestimmen.

Der Umfang wird durch \(U=4a\) bestimmt, denn bei einer Raute sind alle Seiten gleich lang.

Zum Kapitel: Das Drachenviereck (& Raute)

Um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, rechnet man Grundseite mal zugehörige Höhe, hat allerdings so die Fläche des umschließenden Rechtecks bestimmt (Maus übers Bild). Die Fläche des Dreiecks ist genau halb so groß - man darf also nicht vergessen, die Fläche zu halbieren: \(A=\frac{g\cdot{h}}2\). Man muss übrigens nicht \(c\) als Grundseite nehmen, allerdings immer die zur ausgewählten Seite gehörige Höhe.

Der Umfang eines Dreiecks besteht aus den Seiten a, b und c - er ist also \(U=a+b+c\).

Zum Kapitel: Das Dreieck

Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Seiten am rechten Winkel direkt Grundseite und Höhe - man kann diese also in die Flächeninhaltsformel für Dreiecke einsetzen (und muss insbesondere die Höhe nicht irgendwie basteln).

Die Formel für den Umfang bleibt natürlich gleich.

Zum Kapitel: Das Dreieck

Sind bei einem Dreieck zwei Seiten gleichlang, so nennt man es gleichschenklig. Die Höhe halbiert hierbei die Grundseite.

Da die Formeln zur Berechnung von Fläche und Umfang genauso funktioniert, wie die von normalen Dreiecken, hier nur der Hinweis, dass folgender Pythagoras möglich ist:

\(\left(\frac12a\right)^2+h^2=s^2\)

Die zur Flächenberechnung benötigte Höhe läßt sich also durch a und s berechnen:

\(\Leftrightarrow{h}=\sqrt{s^2-\frac14a^2}\)

Zum Kapitel: Das Dreieck

Sind bei einem Dreieck gleich alle Seiten gleichlang, so nennt man es gleichseitig.

Da die Höhe wie bei gleichschenkligen Dreiecken die Grundseite halbiert, ist auch hier Pythagoras möglich:

\(\left(\frac12s\right)^2+h^2=s^2\)

\(\Leftrightarrow{h}=\sqrt{s^2-\frac14s^2}=\frac{\sqrt3}2s\)

Setzt man das für die Höhe in die Flächeninhaltsformel ein, so läßt sich der Inhalt allein in Abhängigkeit von s berechnen.

Zum Kapitel: Das Dreieck

Der Radius eines Kreises ist die Entfernung des Kreisrandes vom Mittelpunkt. Der Durchmesser ist genau doppelt so groß wie der Radius (\(d=2\cdot{r}\)) - er verläuft von einem Kreisrand zum Gegenüberliegenden (und geht durch den Mittelpunkt).

Um sich die Formeln leichter zu merken, beachte Längen- bzw. Flächeneinheiten: Mit \(cm\) werden Längen benannt - mit \(cm^2\) Flächen. Der Radius bleibt beim Umfang also linear (\(U=2\pi\cdot{r}\)), bei Flächen wird er quadriert (\(A=\pi\cdot{r}^2\)).

Zum Kapitel: Der Kreis