Ableiten nach mehreren Regeln

Kapiteleintrag

Widmen wir uns nun Funktionen, die nach mehreren Regeln abgeleitet werden müssen. Wir wollen erkennen, in welcher Reihenfolge die Ableitungsregeln angewendet werden müssen. Dazu betrachten wir drei Beispielfunktionen.

1. Beispiel

\(f\;(x)=x^2\cdot{e}^{-x^2+2x}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=2x\cdot{e}^{-x^2+2x}+x^2\cdot{e}^{-x^2+2x}(-2x+2)\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=[2x+x^2\cdot(-2x+2)]\cdot{e}^{-x^2+2x}\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=(-2x^3+2x^2+2x)\cdot{e}^{-x^2+2x}\)

Betrachtet man die Funktion, so fällt auf, dass sie aus einem Produkt besteht, wobei die Faktoren \(u=x^2\) und \(v=e^{-x^2+2x}\) sind. Wir benötigen also die Produktregel und dementsprechend noch \(u'=2x\), sowie \(v'\). Für letzteres benötigen wir hier allerdings zusätzlich die Kettenregel, denn \(v\) ist eine verschachtelte Funktion (mit der inneren Funktion \(-x^2+2x\). Es ist also \(v'=e^{-x^2+2x}\cdot(-2x+2)\).

Nach dem Einsetzen in die Produktregel fassen wir noch etwas zusammen, fertig!

2. Beispiel

\(f\;(x)=e^{x^2\cdot\sin(x)}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=e^{x^2\cdot\sin(x)}\cdot(2x\cdot\sin(x)+x^2\cdot\cos(x))\)

Hier nun der umgekehrte Fall: Wie man sieht, besteht die Funktion selbst nicht mehr aus einem Produkt, wir müssen nicht mit der Produktregel anfangen. Vielmehr liegt eine verkettete Funktion vor - die nach Kettenregel abgeleitet wird. Zusätzlich besteht die innere Funktion aber aus einem Produkt, wir müssen hier die Produktregel benutzen. Somit lautet die innere Ableitung \(2x\cdot\sin(x)+x^2\cdot\cos(x)\) und die komplette Ableitung ergibt sich.

3. Beispiel

\(f\;(x)=x^3e^x\color{#EE4D2E}{+}e^{-2x+1}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=3x^2e^x+x^3e^x\color{#EE4D2E}{+}e^{-2x+1}(-2)\)

Auch im dritten Beispiel werden Produkt- und Kettenregel benutzt, allerdings nicht mehr gleichzeitig. Nach Summenregel dürfen wir ja jeden Summanden einzeln ableiten ("plus und minus trennt ab!"), also tun wir das (links mit Produkt- und rechts mit Kettenregel).

Zusammenfassung zur richtigen Regelreihenfolge

➤ Die Reihenfolge nach der man gegebenenfalls mehrere Ableitungsregeln anwenden muss ergibt sich aus der Funktion:

• Ist die gesamte Funktion ein Produkt, so benötigen wir die Produktregel, bei einem Quotienten die Quotientenregel und bei einer Verkettung die Kettenregel.

• Falls dann ein(e) Faktor/Zähler/Nenner/Verkettung zusätzlich verschachtelt ist, so benötigen wir eben weitere Regeln.

• Begonnen wird immer mit der Regel, die die Funktion als Ganze verlangt.

Um zu erkennen, mit welcher Regel man beginnen muss, muss man also genau gucken, woraus die Funktion selbst besteht (aus Produkt, Quotient oder Verkettung). Zum Abschluss üben wir das an ein paar Beispielen:

4. Beispiel

\(f(x)=(e^{2x}-x)^5\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=5(e^{2x}-x)^4\cdot(e^{2x}\cdot2-1)\)

Die Funktion selbst ist verkettet, nämlich soll die Innere Funktion \(e^{2x}-x\) mit der \(5\) (Außen) potenziert werden. Nach Kettenregel müssen wir also die Äußere Ableitung \(5\cdot(...)^4\) mit der Inneren Ableitung multiplizieren.

Die Innere Funktion ist nun zum Teil aber selbst verkettet, denn \(e^{2x}\) besitzt wiederum die Innere Funktion \(2x\). Nach Kettenregel ist die Ableitung also \(e^{2x}\cdot2\) und die volle Innere Ableitung dann (mit Summenregel) \(e^{2x}\cdot2-1\).

Nach dem Ableiten könnte man noch zusammenfassen, das ist hier aber unwesentlich.

5. Beispiel

\(f\;(x)=\sin(x)\cdot\frac{x^2+1}{x^3-1}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=\cos(x)\cdot\frac{x^2+1}{x^3-1}+\sin(x)\cdot\frac{2x(x^3-1)-(x^2+1)\cdot3x^2}{(x^3-1)^2}\)

Okay, die Funktion besteht aus einem Produkt (also Produktregel), der Quotient ist ja lediglich ein Faktor. Mit Produktregel erhalten wir \(u=\sin(x)\) (also \(u'=\cos(x)\)) und \(v=\frac{x^2+1}{x^3-1}\). Für \(v'\) brauchen wir wegen des Bruchs noch die Quotientenregel (siehe rechts in der Rechnung). Anschließend setzen wir alles in die Produktregel ein (und haben auch hier keine Lust zusammenzufassen).

6. Beispiel

\(f\;(x)=\ln(x^2)\cdot{e}^{-x^2}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=\left(\frac{1}{x^2}\cdot2x\right)\cdot{e}^{-x^2}+\ln(x^2)\cdot\left({e}^{-x^2}\cdot(-2x)\right)\)

Wieder besteht die Funktion aus einem Produkt - allerdings sind hier beide Faktoren verkettet. Mit \(u=\ln(x^2)\) erhalten wir mit Kettenregel \(u'=\frac{1}{x^2}\cdot2x\), wobei die \(2x\) hinten die innere Ableitung darstellen. Weiter ist \(v=e^{-x^2}\), also \(v'=e^{-x^2}\cdot(-2x)\) auch nach Kettenregel. Wenn man jetz beim Einsetzen in die Produktregel nichts vergisst, erhält man die richtige Ableitung.