Produktregel

Kapiteleintrag

Falls die abzuleitende Funktion aus einem Produkt zweier Funktionen besteht, so benötigt man die Produktregel. Wir verstehen diese am besten an Hand der Beispiele. Beachte, dass vorausgesetzt wird, dass du die besonderen Ableitungen bereits kennst.

Produktregel

Seien \(u\) und \(v\) Funktionen

\(f(x)=u\cdot{v}\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=u'\cdot{v}+u\cdot{v}'\)

Wenn die vorliegende Funktion aus einem Produkt besteht, setzt man zum Ableiten einfach \(u\), \(u'\), \(v\) und \(v'\) in die Produktregel ein. Hier ein paar Beispiele:

1. Beispiel

\(f\;\;(x)=x^2\cdot\sin(x)\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=2x\cdot\sin(x)+x^2\cdot\cos(x)\)

Die Faktoren sind \(x^2\) und \(\sin(x)\), diese sind \(u\) und \(v\). Für die Produktregel brauchen wir noch \(u'=2x\) und \(v'=\cos(x)\). Einsetzen, fertig.

2. Beispiel

\(f\;\;(x)=(x^3-1)e^x\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=(3x^2)e^x+(x^3-1)e^x\)

\(\Leftrightarrow{f}'(x)=(x^3+3x^2-1)e^x\)

Hier sind die Faktoren \(u=x^3-1\), sowie \(v=e^x\). Also ist \(u'=3x^2\) und \(v'=e^x\) (die e-Funktion bleibt erhalten! Nach dem Einsetzen in die Produktregel läßt sich die Ableitung noch zusammenfassen, indem man die e-Funktion wieder ausklammert!

Damit man nicht mit Kanonen auf Spatzen schießt, sollte man die Produktregel auch nur dann anwenden, wenn sie unumgänglich ist. Dazu sollte die Funktion nicht weiter zusammenfassbar sein und in jedem Faktor mindestens ein \(x\) vorkommen.

3. Beispiel

\(f(x)=x^2(x-1)\)

\(\Leftrightarrow{f}\;\;(x)=x^3-x\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=3x^2-1\)

Hier läßt sich die Produktregel umgehen, wenn man die Funktion vorher ausmultipliziert. Die Ableitung ist dann - nach Summenregel - natürlich viel schneller gemacht!

4. Beispiel

\(f(x)=20\cdot{e}^x\)

Schlechte Variante:

\(f'(x)=0\cdot{e}^x+20\cdot{e}^x=20e^x\)

Gute Variante:

\(f'(x)=20e^x\)

Diese Funktion besteht zwar aus einem Produkt, allerdings ist der linke Faktor (die \(20\)) konstant - er beinhaltet kein \(x\). Hier greift die sogenannte >Faktorregel<, nach der konstante Faktoren beim Ableiten einfach stehen bleiben. Hier also unbedingt die zweite Variante wählen!

Wir halten die Faktorregel am besten direkt als kleines "Sätzchen" fest.

Eigentlich kannst du sie schon, denn die Ableitung etwa von \(6x^2\) ist \(12x\), klar. Das ist allerdings nur deshalb so, da der konstante Faktor \(6\) stehen bleibt und \(x^2\) zu \(2x\) abgeleitet wird. Genaugenommen erhält man zuerst also \(6\cdot2x\).

Nach Faktorregel bleiben somit konstante Faktoren stehen!

Faktorregel

\(f(x)=c\cdot{g}(x)\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=c\cdot{g}'(x)\)

5. Beispiel

\(f(x)=10\cdot\sin(x)\)

\(\Rightarrow{f}'(x)=10\cdot\cos(x)\)

Hier sieht man, dass zwar ein Produkt vorliegt, der vordere Faktor aber konstant ist (nämlich \(10\)). Nach Faktorregel bleibt dieser stehen und wir leiten nur \(\sin(x)\) zu \(\cos(x)\) ab.

Zusammenfassung Produktregel

➤ Besteht die abzuleitende Funktion aus einem Produkt zweier Funktionen \((u\cdot{v})\), so muss nach Produktregel abgeleitet, also in \((u'\cdot{v}+u\cdot{v}')\) eingesetzt werden.

➤ Falls ein Faktor konstant ist (~kein \(x\) beinhaltet) so kann und sollte nach Faktorregel abgeleitet werden!

➤ Außerdem sollte die Funktion nicht weiter zusammenfassbar sein.