Wendestellen

Kapiteleintrag

An Wendestellen wendet sich der Graph - er ändert sein Krümmungsverhalten. Am besten stellt man sich dazu vor, in welche Richtung man eine Kurve machen müsste, wenn man auf dem Graphen entlang laufen würde.

Bei unserer Beispielfunktion müsste man bis zum Punkt \(W(2\mid3)\) eine Rechtskurve, und von da an eine Linkskurve machen. In \(W\) ändert der Graph also sein Krümmungsverhalten.

Graph mit Wendepunkt

Eine viel wichtigere Eigenschaft von Wendestellen ist aber, dass sie extreme Steigung besitzen. Solange der Graph ab dem Hochpunkt nämlich bei einer Rechtskurve bleibt, desto steiler wird er ja. Erst, wenn er in eine Linkskurve wechselt, kann er wieder flacher werden (betrachte dazu die eingezeichneten Steigungen: Beim Wendepunkt ist der Graph mit \(m=-3\) am steilsten).

Um Wendestellen zu bestimmen, muss man also lediglich die Extremstellen von \(f'\) bestimmen, denn wenn die Ableitung extrem ist, dann ist natürlich gerade die Steigung des Graphen extrem! Demnach beziehen wir die üblichen Bedingungen (für Extremstellen) einfach auf die erste Ableitung, so dass sie einen tiefer rutschen.

Wendestellen

Notwendige Bedingung: \(f''(x_w)=0\)

Hinreichende Bedingung: \(f'''(x_w)\ne0\) \((\wedge{f}''(x_w)=0)\)

Anders als bei Extremstellen interessiert uns übrigens bei der hinreichenden Bedingung nicht, ob \(f'''(x_w)\) größer oder kleiner Null ist. Man kann hier zwar die genaue Änderung des Krümmungsverhalten ablesen, im Hinblick auf die Zeichnung des Graphen ist das allerdings unwesentlich.

Rezept zum Bestimmen von Wendestellen

➤ Wendestellen werden mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung bestimmt. Man geht wie folgt vor:

• Bestimme die ersten drei Ableitungen

• Notw. Bed.: Setzte \(f''(x)=0\) und löse nach \(x\) auf. Du erhälst die Wendestellenkandidaten.

• Überprüfe die Lösungen durch Einsetzen in \(f'''\): Ist \(f'''(x_w)\ne0\), so liegt tatsächlich eine Wendestelle vor.

• Ermittle von den bewiesenen Wendestellen noch den zugehörigen y-Wert, falls du den vollständigen Punkt angeben sollst. Das übernimmt natürlich die Ausgangsfunktion, also \(f(x_w)\).

1. Beispiel

\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)

Ableitungen

\(f'(x)=3x^2-12x+9\)

\(f''(x)=6x-12\)

\(f'''(x)=6\)

Notw. Bed.: \(f''(x)=0\)

\(6x-12=0\)

\(\Leftrightarrow\;\;\,{x}\qquad\quad\;\;=2\)

Hinr. Bed.: \(f''(x)=0\wedge{f}'''(x)\ne0\)

\(f'''(2)=6\ne0\Rightarrow{WP}\) bei \(x=2\)

y-Wert:

\(f(2)=2^3-6\cdot2^2+9\cdot2+1\)

\(=3\Rightarrow{WP}(2\mid3)\)

Hier dann endlich eine typische Wendestellenberechnung: Wir bestimmen die ersten drei Ableitungen und setzen die zweite gleich Null. Hier erhalten wir nur einen Wendestellenkanditat, nämlich bei \(x=2\). Diesen überprüfen wir mit Hilfe der dritten Ableitung, sie ist ungleich Null, der Wendepunkt stimmt (hier wird gar nichts eingesetzt: Die dritte Ableitung ist konstant \(6\) - ungleich Null). Anschließend noch den zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in \(f\) bestimmen. Wir erhalten den Wendepunkt \(W(2\mid3)\). Hier der Graph (es ist die Einleitungsfunktion):

2. Beispiel

\(f(x)=(x^2-5x+6)e^x\)

Ableitungen

\(f'(x)=(x^2-3x+1)e^x\)

\(f''(x)=(x^2-x-2)e^x\)

\(f'''(x)=(x^2+x-3)e^x\)

Notw. Bed.: \(f''(x)=0\)

\((x^2-x-2)e^x=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=-1\vee{x}=2\)

Hinr. Bed.: \(f''(x)=0\wedge{f}'''(x)\ne0\)

\(f'''(-1)\approx-1{,}10\ne0\Rightarrow{WP}\)

\(f'''(2)\approx22{,}17\ne0\Rightarrow{WP}\)

y-Werte:

\(f(-1)\approx4{,}42\Rightarrow{WP}_1(-1\mid4{,}42)\)

\(f(2)=0\Rightarrow{WP}_2(2\mid0)\)

Die Berechnung der Wendestellen sollte prinzipiell klar sein, widmen wir uns lieber dem Graphen, denn verinnerliche dir nochmal, was eine Wendestelle bewirkt: Sie ändert das Krümmungsverhalten! Hier ist der Graph erst linksgekrümmt - eben bis zur ersten Wendestelle bei \(x=-1\). Danach bleibt er rechtsgekrümmt, um ab der zweiten Wendestelle bei \(x=2\) wieder zur Linkskrümmung zurück zu kehren.