1. KPIM
  2. Kapitel
  3. Analysis
  4. Lösungsverfahren
  5. e-Ausklammern

e-Ausklammern

Nützliches

Musterbeispiel:

\({x}\cdot{e}^{{x}}+2{e}^{{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^{{x}}\cdot({x}+2)=0\)

\(\Rightarrow{e}^{{x}}=0\vee{x}+2=0\)

\(\Rightarrow{e}^{{x}}\ne0\vee{x}=-2\)

\(\Rightarrow{x}=-2\)

Diese Gleichung enthält in jedem Summanden die e-Funktion, also klammern wir diese aus.

Anschließend setzen wir die Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich \(0.\)

Da die e-Funktion nicht \(0\) werden kann, erhalten wir nur rechts eine Lösung.

Musterbeispiel:

\({x}^{2}\cdot{e}^{2{x}}-{e}^{2{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^{2{x}}\cdot({x}^{2}-1)=0\)

\(\Rightarrow{e}^{2{x}}\ne0\vee{x}^{2}-1=0\)

\(\Rightarrow{x}^{2}=1\)

\(\Rightarrow{x}=1\vee{x}=-1\)

Diese Gleichung enthält in jedem Summanden \({e}^{2{x}}\) \(-\) wir klammern das aus.

Nachdem wir die Faktoren einzeln gleich \(0\) gesetzt haben, fällt die e-Funktion wie immer weg (auch \({e}^{2{x}}\) kann nicht \(0\) werden) \(-\) und wir müssen nur den anderen Faktor \(0\) setzen.

Hier lösen wir diesen noch durch Wurzelziehen auf und erhalten zwei Lösungen.

Musterbeispiel:

\({x}\cdot{e}^{{x}}+{e}^{-{x}}=0\)

\(\Rightarrow\) kein Lösungsverfahren

Da die Summanden unterschiedliche e-Funktionen enthalten, können wir nichts ausklammern.

Diese Gleichung läßt sich nicht durch Ausklammern lösen.

© Christian Wenning