Diese Formelsammlung gibt einen Kurz-Überblick zu allen abiturrelevaten Themen der Analysis. Um zu den ausführlichen Erklärungen eines Themas zu wechseln, klicke einfach die zugehörige Überschrift an.
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Wurzelziehen\(x^2-9=0\) \(x^3+8=0\) Ausklammern\(x^2-x=0\) \(x^3-x^2+4x=0\) \(x^6+4x^4=0\) PQ-Formel\(x^2-4x+6=0\) \(3x^2-6x+12=0\) Substitution\(x^4-2x^2+1=0\) \(x^6+2x^3-4=0\) Polynomdivision\(x^3-x^2+2x+6=0\) \(x^4+x-1=0\) |
| Gleichungen, die nur ein \(x\) und eine Zahl beinhalten, lassen sich durch einfaches Umformen lösen - ggf. muss hierbei eine Wurzel gezogen werden. Gleichungen, die keine Zahl beinhalten, lassen sich durch Ausklammern lösen. Anders gesagt läßt sich Ausklammern, wenn überall ein x drin vorkommt. Die PQ-Formel wird angewendet, wenn die Gleichung genau ein \(x^2\), ein \(x\) und eine Zahl beinhaltet. Um die PQ-Formel anwenden zu dürfen, darf \(x^2\) keinen Vorfaktor haben - man müsste die zweite Beispielgleichung also vorher durch \(3\) teilen. Eine Substitution der Form \(x^n=z\) ist in der Schule sinnvoll, wenn man anschließend die PQ-Formel erhält. Damit das passiert, muss der Exponent des vorderen \(x\) doppelt so groß sein, wie der des hinteren (und es muss eine Zahl geben - sonst würde man ja auch ausklammern). Die Polynomdivision schließlich ist sicherlich das umständlichste Verfahren, daher wird sie auch nur dann benutzt, wenn alle anderen Verfahren fehlschlagen. Dazu muss die Gleichung mindestens dritten Grades sein und eine Zahl beinhalten. |
Die Ableitung von \(f(x)\) heißt \(f'(x)\). \(f'(1)=2\) \(\Rightarrow{f}\text{ hat bei }x=1\text{ die Steigung } 2\) |
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\(f(x)=\frac{1}{x}\) \(\Rightarrow{D}(f)=R|x\ne0\) \(f(x)=\sqrt{x}\) \(\Rightarrow{D}(f)=R|x\ge0\) \(f(x)=\ln({x})\) \(\Rightarrow{D}(f)=R|x\gt0\) Definitionsbereiche ohne Einschränkung\(f(x)=x^2-4\) \(\Rightarrow{D}(f)=R\) \(f(x)=e^{2x+1}\) \(\Rightarrow{D}(f)=R\) Definitionsbereich mit zu berechnender Einschränkung\(f(x)=\frac{1}{x^2-4}\) NR.: \(x^2-4=0\Leftrightarrow{x}=2\vee{x}=-2\) \(\Rightarrow{D}(f)=R|x\ne-2\wedge{x}\ne2\) |
| Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Nun gibt es drei unberechenbare Rechenregeln: 1. Kann man nicht durch \(0\) teilen - falls die Funktion also einen Bruch enthält, darf der Nenner nicht Null sein. 2. Kann man (Quadrat-)Wurzeln nur aus positiven Zahlen und der Null ziehen. Die Diskriminante (das unter der Wurzel) muss also größer gleich \(0\) sein. 3. Kann man Logarithmen nur aus echt positiven Zahlen ziehen, hier muss alles im \(\ln\) also echt größer \(0\) sein. Wenn eine Funktion keinen Bruch, keine Wurzel und keinen Logarithmus besitzt, so ist der Definitionsbereich immer \(D(f)=R\) - man muss also nichts einschränken. Bei weiter verschachtelten Funktionen muss die oben genannte Bedingung möglicherweise in einer Nebenrechnung ausgerechnet werden. |
\(f(x)=0\) \(\Leftrightarrow{x}_1=n_1\vee{x}_2=n_2\vee\text{...}\) \(\Rightarrow{N}_1(n_1|0)\;\;N_2(n_2|0)\;\;\text{...}\) y-Achsenabschnitt\(f(0)=c\) \(\Rightarrow{N}_y(0|c)\) Nullstellen von \(f(x)=x^2+x-2\)\(x^2+x-2=0\;\;\;|\text{PQ-Formel}\) \(\Leftrightarrow{x}=1\vee{x}=-2\) \(\Rightarrow{N}_1(1|0)\) \(N_2(-2|0)\) y-Achsenabschnitt von \(f(x)=x^2+x-2\)\(f(0)=0^2+0-2=-2\) \(\Rightarrow{N}_y(0|-2)\) |
| Man erhält die Nullstellen, indem man die Funktion gleich Null setzt und nach \(x\) auflöst. Die y-Koordinaten von Nullstellen sind \(0\). Den Schnittpunkt mit der y-Achse ermittelt man durch \(f(0)\), also durch Einsetzen von \(x=0\) in die Funktion. |
Notwendige Bedingung\(f'(x)=0\) \(\Leftrightarrow{x}=e_1\vee{x}=e_2\vee\text{ ...}\) hinreichende Bedingung (am Beispiel \(x=e_1\))\(f''(e_1)\gt0\Rightarrow{e_1}\text{ ist TP}\) \(f''(e_1)\lt0\Rightarrow{e_1}\text{ ist HP}\) \(f''(e_1)=0\Rightarrow\text{ keine Aussage}\) y-Werte\(f(e_1)=y_{e_1}\) \(\Rightarrow{E}_1(e_1|y_{e_1})\) Extrempunkte von \(f(x)=x^2-2x-2\)\(f'(x)=2x-2\) \(f''(x)=2\) Notwendige Bedingung\(2x-2=0\Leftrightarrow{x}=1\) hinreichende Bedingung\(f''(1)=2\gt0\Rightarrow\text{ TP}\) y-Wert\(f(1)=1^2-2\cdot1-2=-3\) \(\Rightarrow{T}(1|-3)\) |
| Extremstellen(-kandidaten) werden mit Hilfe der notwendigen Bedingung ermittelt - und anschließend mit der hinreichenden Bedingung überprüft. Hat man auf diese Weise Extremstellen gefunden, sollte man zur Angabe des vollen Extrempunkts noch den y-Wert durch Einsetzen der Extremstelle in \(f\) berechnen. Hinweis: Falls die hinreichende Bedingung keine Entscheidung bringt (bei \(f''(x_e)=0\)), müssen genaugenommen andere Kriterien angewendet werden (z.B. Vorzeichenwechselkriterium oder das Überprüfen einer ungeraden Ableitung). In der Schule wird allerdings oft gesagt, hier läge dann ein Sattelpunkt vor. |
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?