Das Umrechnen in verschiedene Maßzahlen kann mitunter etwas trickreich sein, wir werden in diesem Kapitel insbesondere die Stolperfallen erklären.
Beginnen wir mit dem Umrechnen von Längen.
Das Umrechnen in verschiedene Maßzahlen kann mitunter etwas trickreich sein, wir werden in diesem Kapitel insbesondere die Stolperfallen erklären.
Beginnen wir mit dem Umrechnen von Längen.
Meter in Zentimeter | Da ein Meter aus 100 Zentimetern besteht, multiplizieren wir beim Umrechnen mit \(10^2\) und erhalten das Ergebnis. Beim Multiplizieren mit Zehnerpotenzen wird dabei lediglich das Komma um so viele Einheiten verschoben, wie der Exponent angibt (positiver Exponent: nach rechts; negativer Exponent: nach links). |
Wenn man also die zugehörige Zehnerpotenz kennt, lassen sich Längen recht einfach durch das Verschieben des Kommas in andere Maßeinheiten umrechnen. Ob man das Komma hierbei nach links oder rechts verschieben muss, wird schnell klar, wenn man sich vorher kurz überlegt, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss. Zur richtigen Umrechnung von Längen, braucht′s dann lediglich die richtigen Zehnerpotenzen - diese werden allerdings von den Vorsilben der Längeneinheiten gleich mitgeliefert. Das Wort "kilo" etwa kommt aus dem griechischen und heißt tausend. Klar dann, dass zum Beispiel ein Kilometer aus tausend Metern besteht, oder ein Kilogramm tausend Gramm hat. In der folgenden Tabelle findest Du die gängigsten Vorsätze unserer Längeneinheiten:
\(10^9\) | Giga | gr. gigas (Riese) |
\(10^6\) | Mega | gr. mega (groß) |
\(10^3\) | Kilo | gr. chilioi (tausend) |
\(10^2\) | Hekto | gr. hekaton (hundert) |
\(10^1\) | Deka | gr. deka (zehn) |
\(10^{-1}\) | Dezi | lat. decimus (zehnter) |
\(10^{-2}\) | Zenti | lat. centum (hundert) |
\(10^{-3}\) | Milli | lat. mille (tausend) |
\(10^{-6}\) | Mikro | gr. mikros (klein) |
Wie in unserem ersten Beispiel zu sehen, bedeuten 120 Zentimeter also wörtlich genommen soviel wie \(120\cdot10^{-2}\) Meter - man erhält ohne Zehnerpotenz also \(1{,}2\) Meter.
Wenn eine Länge nicht in Meter, sondern in eine andere Maßeinheit umgerechnet werden soll, kann man entweder immer erst in Meter umrechnen oder, besser noch, direkt mit der Zehnerpotenz multiplizieren, die sich aus dem Abstand der Einheiten ergibt.
Kilometer in Dezimeter | Da der Vorsatz "Kilo" die Zehnerpotenz \(10^3\) und "Dezi" \(10^{-1}\) angibt, lautet der direkte Umrechnungsfaktor \(10^4\). Wir müssen das Komma also um vier Stellen verschieben - und da wir Kilometer in eine kleinere Einheit umrechnen, verschieben wir logischerweise nach rechts (die Zahl muss größer werden). |
Prinzipiell funktioniert das Umrechnen von allen Größen auf diese Weise (etwa besteht zwischen Kilogramm (\(10^3\) Gramm) und Milligramm (\(10^{-3}\) Gramm) der Umrechnungsfaktor \(10^6\), zwischen Gigawatt (\(10^9\) Watt) und Megawatt (\(10^6\) Watt) der Umrechnungsfaktor \(10^3\) oder zwischen Hektolitern (\(10^2\) Liter) und Zentilitern (\(10^{-2}\) Liter) der Umrechnungsfaktor \(10^4\). Hier gibt es lediglich ein paar kleine Ausnahmen (wie etwa das "Megagramm", also \(10^6\) Gramm, bzw. \(10^3=1.000\) Kilogramm - wir nennen es Tonne; man muss sich hier also zusätzlich den Umrechnungsfaktor merken).
Einen wesentlichen Unterschied beim Umrechnen gibt es allerdings bei Flächen und Volumina.
Die Fläche des abgebildeten Quadrats läßt sich wie üblich durch \(A=a\cdot{a}\) berechnen - rechnen wir in Kilometern, erhalten wir also wenig verblüffend \(A=1km\cdot1km=1km^2\). |
Beim Umrechnen von Flächen müssen wir unsere durch die Vorsätze deklarierten Zehnerpotenzen also stets noch quadrieren (da Flächen das Produkt aus zwei Seitenlängen sind). Der Exponent, den wir zum Verschieben des Kommas benötigen, wird dabei immer verdoppelt (denn \((10^n)^2=10^{2\cdot{n}}\)) - beim Umrechnen von Flächen müssen wir also immer um doppelt so viele Stellen verschieben, wie die Präfixe eigentlich erfordern.
\(cm^2\) in \(m^2\) \(km^2\) in \(dm^2\) | "Zenti" bedeutet \(10^{-2}\) - beim Umrechnen in Meter müssten wir um zwei Stellen verschieben. Da hier aber eine Fläche vorliegt, verschieben wir bei der Umrechnung von \(cm^2\) in \(m^2\) doppelt so weit (um vier Stellen). |
Na? Wer errät, was wir als nächstes behandeln?
Richtig - Volumen!
Volumen berechnen sich durch das Produkt aus Länge, Breite und Höhe - ist also das Produkt aus drei Längen. Beim Umrechnen müssen wir das Komma wie ihr euch wohl schon gedacht habt, gleich dreimal so weit verschieben wie bei Längen (\((10^n)^3=10^{3\cdot{n}}\)). So hat ein Würfel mit der Seitenlänge \(a=1m\) ein Volumen von \(V=1m\cdot1m\cdot1m=1m^3\), in Zentimetern aber \(V=100cm\cdot100cm\cdot100cm=1.000.000cm^3\).
\(dm^3\) in \(m^3\) | "Dezi" bedeutet \(10^{-1}\) - beim Umrechnen in Meter müssten wir um eine Stelle verschieben. Da hier aber ein Volumen vorliegt, verschieben wir bei der Umrechnung von \(dm^3\) in \(m^3\) dreimal so weit (um drei Stellen). |
Beim Umrechnen von Längen (und vielen anderen Größen) ist es ratsam, die gängigsten Präfixe inklusive der zugehörigen Zehnerpotenzen auswendig zu kennen: man verschiebt das Komma um so viele Stellen, wie zwischen den Deklarationen liegt (etwa von Milli (\(10^{-3}\)) in Mega (\(10^6\)) um 9 Stellen.
Beim Umrechnen von Flächen verschiebt man um doppelt so viele Stellen wie beim Umrechnen von Längen.
Beim Umrechnen von Volumina verschiebt man um dreimal so viele Stellen wie beim Umrechnen von Längen.
Zum Abschluss noch kurz zwei Hinweise, die wir durch unser Kommaverschiebetrick bei Zehnerpotenzen umgehen konnten.
1. Einheiten, die nicht durch 10er-Potenzen auseinander hervorgehen, müssen wie früher gewohnt durch echtes Multiplizieren oder Dividieren umgerechnet werden.
Stunden in Minuten Stunden in Tage | Der Umrechnungsfaktor von Stunden und Minuten ist 60 - hier können wir nicht einfach das Komma verschieben, sondern müssen tatsächlich multiplizieren oder dividieren. Das klappt dafür auch bei Brüchen*, so hat eine Viertelstunde natürlich 15 Minuten. |
* um bei einem Bruch das Komma verschieben zu können, muss man ihn erst in eine Dezimalzahl umwandeln.
2. Bei Maßzahlen, die gleichzeitig zwei Einheiten innehaben (insbesondere Geschwindigkeiten), müssen die jeweiligen Einheiten in der Regel nacheinander in die gewünschte Einheit überführt werden (wobei man hier aufpassen muss, ob die umzurechnende Einheit im Zähler oder im Nenner ist). Das läßt sich nur umgehen, wenn man die Umrechnungsfaktoren für die Einheiten auswendig kennt. Wir betrachten ein Beispiel:
\(90\frac{km}{h}\) in \(\frac{m}{s}\) Alternativ (Umrechnungsfaktor \(1\frac{m}{s}=3{,}6\frac{km}{h}\)) | Um km/h in m/s umzurechnen, müssen wir die Kilometer in Meter und die Stunden in Sekunden umrechnen. |
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?