Alle mathematischen Formeln, die kein Gleichheitszeichen (und auch keine Ungleichheitszeichen) beinhalten, nennt man Term.
Alle mathematischen Formeln, die kein Gleichheitszeichen (und auch keine Ungleichheitszeichen) beinhalten, nennt man Term.
1) \(2+3\) 2) \(x\cdot{y}\) 3) \(4x=8\) 4) \(a^2-\sqrt{a-1}\) 5) \(4a>2\) 6) \(\frac{e^x-1}{\sin(x)\cdot\ln(x)}\) 7) \(7\ne{t}-1\) 8) \({5^2}^3\) | Die Beispiele 1), 2), 4), 6) und 8) beinhalten keine Gleichheitsoperatoren (\(=, \ne, \gt, \ge, \lt, \le\)). Diese Beispiele sind also Terme. |
Man kann Terme zusammenfassen, wobei die normalen Rechenregeln zu beachten sind (Klammern vor Potenz vor Punkt vor Strich).
\(3+4\cdot5^2\) \(=3+4\cdot25\) \(=3+100\) \(=103\) | Dieser Term enthält keine Variablen - wir können ihn also vollständig zusammenfassen, bzw. ganz ausrechnen. Natürlich beachten wir die Rechenregeln, weshalb wir hier zuerst die Potenz, dann das Produkt und erst zum Schluss die Summe berechnen. |
Bei Termen mit Variablen kann man nur Variablen zusammenfassen, die als gleicher Typ vorliegen, etwa Variablen mit gleichem Exponenten oder Variablen unter einer identischen Wurzel.
\(x^2+3x^2\) \(=4x^2\) \(\sqrt{a}+2\sqrt{a}\) \(=3\sqrt{a}\) \(\sqrt{b}+2b^2\) \(\Rightarrow\) keine Zusammenfassung möglich | Wir können die ersten beiden Beispiele zusammenfassen, da die Variablen gleichen Typs sind. |
Betrachten wir also, welche Operatoren es überhaupt gibt und entscheiden jeweils, wie wir sie zusammenfassen können.
\(x, x^2, 4x^3, ...\) \(\sqrt{x}, \sqrt[6]{x}, \sqrt[3]{x^2}, ...\) \(\frac1x, \frac5{x-1}, \frac{x^2-1}{x^2+1}, ...\) \(2^x, 3^x, e^x, ...\) \(\ln(x), \log_2(x), \lg(2x), ...\) \(\sin(x), \cos(x), \tan(x), ...\) | Variablen können die Basis von Potenzen sein - wir nennen diese ganzrational. Variablen können selbst Exponenten sein. Diese lassen sich unter keinen Umständen mit Variablen zusammenfassen, die Basen von Potenzen sind. Schließlich können Variablen noch in Funktionen stehen, etwa den trigonometrischen wie im Beispiel oder abgefahreneren wie der Funktion über die Anzahl der Primzahlen \(\pi(x)\) oder der Heaviside-Funktion \(H(x)\). Hier können Variablen eher gar nicht zusammengefasst werden - es ist nur unter Umständen möglich, etwa bei den trigonometrischen Funktionen, wenn bestimmte Zusammenhänge gelten (zum Beispiel kann man \(\sin^2(x)+\cos^2(x)\) zu \(1\) zusammenfassen). |
Variablen, die im gleichen Typen vorliegen, können addiert oder subtrahiert werden, indem man sie zusammenzählt. Etwa sind \(3x+4x\) zusammen \(7x\), oder \(-2\cdot\ln(x)+8\ln(x)\) ergeben \(6\ln(x)\).
Verschiedene Typen können auf diese Weise nicht zusammengefasst werden - so muss etwa \(x^2+\sin(x)\) stehenbleiben.
1) \(=\color{cornflowerblue}{3x^2}\color{#0CB992}{-7x^{\frac12}}+12x^{-3}\) 2) \(=\color{cornflowerblue}{6e^x}+2\log_2(x)\) 3) \(\color{cornflowerblue}{4x^8}\color{#0CB992}{-3\ln(x+2)}+5e^{x^2-1}\color{#ff00ff}{-4\ln(x+3)}\color{orangered}{-4e^{x^3-1}}\) | Alles, das durch Plus und Minus getrennt ist betrachten wir einzeln und fassen nur zusammen, wenn wirklich identische Ausdrücke vorliegen. |
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?