Die Ableitung

Wir beginnen mit der konstanten Funktion \(f(x)=5\). Wie im Bild zu erkennen ist der Graph eine waagerechte Gerade. Dieser Graph fällt nicht und steigt nicht, die Steigung beträgt an jeder Stelle \(0\). Um die Steigung einer Geraden besser verstehen zu können kannst du dir auch die etwas unmathematischere Aussage merken: >Die Steigung ist immer der Wert, um den der Graph nach oben oder unten wandert, wenn man eine Einheit nach rechts geht.<

In unserem Beispiel könnte man etwa vom Punkt \(P(1\mid5)\) eine Einheit nach rechts gehen und im Punkt \(Q(2\mid5)\) enden. Man sieht, dass sich die Funktion nicht verändert hat, also ist die Steigung \(0\) (Maus übers Bild). Da unsere Funktion immer den Funktionswert \(5\) hat, ist die Steigung sogar an jeder Stelle \(x\) gleich \(0\). Die Ableitung unserer Funktion - welche ja die Steigung an jeder Stelle \(x\) angeben soll - lautet also: \(f'(x)=0\).

Ist die Ableitung bekannt, können wir überall die Steigung berechnen. Es ist bspw. \(f'(1)=0\), also hat oben behandelter Punkt \(P\) tatsächlich die Steigung \(0\). Allerdings wissen wir jetzt auch, dass etwa \(f'(-29{,}11)=0\) ist, der Graph von \(f\) also auch bei \(x=-29{,}11\) die Steigung \(0\) hat.

Betrachten wir nun die lineare Funktion \(f(x)=2x+1\). Auch der Graph dieser Funktion ist eine Gerade, allerdings ist diese nicht waagerecht. Wir bestimmen wieder die Steigung an der Stelle \(x=1\) nach obigem Verfahren. Bewegen wir uns vom Punkt \(P(1\mid3)\) um eine Einheit nach rechts, so landen wir im Punkt \(Q(2\mid5)\) (Maus übers Bild). Der Graph erhöht sich also um zwei Einheiten, die Steigung ist also \(2\). Da der Graph eine Gerade ist, die in jedem Punkt die gleiche Steigung hat, hat \(f\) also überall die Steigung \(2\). Die Ableitung ist dann \(f'(x)=2\).

Genau wie oben können wir jetzt die Steigung an jeder Stelle berechnen. Es ist etwa \(f'(-29,11)=2\), also hat \(f\) an der Stelle \(-29{,}11\) die Steigung \(2\).

Zu guter Letzt wenden wir uns nun der gekrümmten Funktion \(f(x)=x^2\) zu. Anders als bei den linearen Funktionen hat \(f\) in jedem Punkt eine andere Steigung. Unser Verfahren zur Bestimmung der Steigung von Geraden funktioniert hier nicht mehr, da sich die Steigung zwischendurch ja ändert.

Bei gekrümmten Funktionen bestimmen wir die Steigung in einem Punkt, indem wir an die Funktion in dem zu untersuchenden Punkt eine Gerade zeichnen, die dieselbe Steigung hat wie der Punkt selbst. Die Gerade liegt dann "glatt" an \(f\) und wird >Tangente von \(f\) an der Stelle \(x\)< genannt. Von dieser Geraden bestimmen wir die Steigung wieder nach unserem Verfahren; es ist die Steigung von \(f\) an dieser Stelle.

Hier hat \(f\) bspw. bei \(x=1\) die Steigung \(2\), da die zugehörige Tangente eben diese Steigung hat (Maus übers Bild). Will man dieses Ergebnis mit Hilfe der Ableitung angeben, so schreibt man: \(f^\prime(1)=2\). Die Steigung in einem Punkt läßt sich so zwar angeben, allerdings wäre es eine ewige Rechnerei, wolle man so die Steigung aller Punkte bestimmen.