Die Ableitung
Die Ableitung, genannt \(f'(x)\) gibt die Steigung der Ausgangsfunktion \(f\) an.
So bedeutet \(f'(1)=2\), dass \(f\) an der Stelle \(1\) die Steigung \(2\) hat.
Die Ableitung \(f'(x)\) (lies: "f-Strich-von-x") berechnet zuverlässig Steigungen der Ausgangsfunktion. Was liegt also näher, als nicht ersteinmal zu klären, was der Begriff Steigung von Funktionen überhaupt meint?
Bevor wir uns also der Ableitung selbst widmen, betrachten wir die Steigungen von drei Beispielfunktionen.
Damit wir auch hier die Steigung aller Punkte angeben können, benötigen wir die Ableitung. In den ersten beiden Beispielen ist diese bekannt:
Im ersten Beispiel ist \(f'(x)=0\), die Steigung in jedem Punkt ist \(0\).
Im zweiten Beispiel ist \(f'(x)=2\), die Steigung in jedem Punkt ist \(2\).
Bei unserer Funktion \(f(x)=x^2\) läßt sich die Ableitung zwar nicht mehr ablesen, allerdings kann man sie mit Hilfe verschiedener Ableitungsregeln bestimmen. Hier ist dann \(f'(x)=2x\) und wir können wieder die Steigung in jedem Punkt angeben, so hat \(f\) bei \(x=1\) etwa tatsächlich die Steigung \(2\), denn \(f'(1)=2\cdot1\). Aber mit \(f'\) läßt sich nun überall die Steigung angeben, so hat \(f\) bei \(x=29{,}11\) bspw. die Steigung \(f'(29{,}11)=2\cdot29{,}11=58{,}22\).
Zusammenfassung Ableitung
➤ die Ableitung einer beliebigen Funktion \(f(x)\) wird \(f'(x)\) genannt.
➤ mit Hilfe der Ableitung lassen sich Steigungen der Ausgangsfunktion berechnen.
➤ \(f'(1)=2\) bedeutet, dass \(f\) an der Stelle \(x=1\) die Steigung \(2\) hat.
➤ gebildet wird die Ableitung mit Hilfe der Ableitungsregeln.