Um die Potenzgesetze herzuleiten, testen wir bei verschiedenen Termen, ob und wenn ja wie man sie zusammenfassen kann.
Wir beginnen mit addieren:
Um die Potenzgesetze herzuleiten, testen wir bei verschiedenen Termen, ob und wenn ja wie man sie zusammenfassen kann.
Wir beginnen mit addieren:
\(x^2+x^3\) \(=x\cdot{x}+x\cdot{x}\cdot{x}\) | Umschreiben wir die Potenzen als Produkte, sieht man, dass wir hier nichts zusammenfassen können. |
\(a^2+b^2\) \(=a\cdot{a}+b\cdot{b}\) | Bei Potenzen mit gleichem Exponenten sehen wir das gleiche: Auch wenn wir die Potenzen umschreiben können wir nichts zusammenfassen! |
\(2x^2+4x^2\) \(=6x^2\) | Potenzen können nur dann addiert werden, wenn sowohl Basis als auch Exponent übereinstimmt. |
Man darf Potenzen nur dann addieren (oder subtrahieren), wenn sie sowohl die gleiche Basis als auch den gleichen Exponenten haben!
Dann weiter zum Multiplizieren:
\(x^2\cdot{x}^3\) \(=x\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\) \(=x^5\;\;(=x^{2+3})\) | Umschreiben wir die Potenzen als Produkte, so sehen wir anders als bei der Addition, dass wir jetzt bei der Multiplikation sehr wohl zusammenfassen können! |
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert
\(a^2\cdot{b}^2\) \(=a\cdot{a}\cdot{b}\cdot{b}\) \(=a\cdot{b}\cdot{a}\cdot{b}\) \(=(a\cdot{b})^2\) | Wieder umschreiben wir die Potenzen als Produkte und entscheiden, ob wir zusammenfassen können. |
Man darf beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichem Exponenten zuerst die Basen miteinander multiplizieren und den Exponenten beibehalten
Und weiter zum Dividieren:
\(x^5\div{x}^2\) \(=\frac{x^5}{x^2}\) \(\require{cancel}=\frac{x\cdot{x}\cdot{x}\cdot{\cancel{x}}\cdot{\cancel{x}}}{\cancel{x}\cdot{\cancel{x}}}\) \(=\frac{x^3}1=x^3\;\;(=x^{5-2})\) | Divisionen sind Brüche. Umschreiben wir die Division also als Bruch und die Potenzen als Produkte, so dürfen wir aus Faktoren beliebig kürzen. |
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
An dieser Stelle ein kleiner Exkurs:
Aus dem Satz geht hervor, dass wir negative Exponenten erhalten, wenn der Exponent des Dividenden größer ist, zum Beispiel ist \(x^2\div{x}^5=x^{-3}\).
Umschreibt man die Rechnung wieder als Bruch, so erhält man \(x^{-3}=x^2\div{x}^5=\frac{x\cdot{x}}{x\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}}=\frac1{x^3}\). Mit negativen Exponenten meint man also Brüche der Form "1 durch Potenz mit positivem Exponenten".
Das halten wir direkt in einem Satz fest:
Ein negativer Exponent bedeutet, man soll den Kehrwert der Basis potenzieren.
Mit diesem Satz können wir das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis auch aus dem Satz zum Multiplizieren herleiten:
Es ist \(x^5\div{x}^2=x^5\cdot\frac1{x^2}=x^5\cdot{x^{-2}}=x^{5+(-2)}=x^3\).
An dieser Stelle eine kleine Zusammenfassung zum Zusammenfassen von Potenzen mit gleicher Basis. Wir haben für vier Grundrechenarten Gesetze gefunden:
1. \(x^m+x^n\) keine Zusammenfassung möglich
2. \(x^m-x^n\) keine Zusammenfassung möglich
3. \(x^m\cdot{x}^n=x^{m+n}\)
4. \(x^m\div{x}^n=x^{m-n}\)
Wenn man sich hierbei verinnerlicht, wie die Grundrechenarten auseinander hervorgehen (das wird im Kapitel Punkt vor Strich und Klammern erklärt), nämlich dass Plus und Minus Rechnungen der 1. Stufe und Mal und Geteilt Rechnungen der 2. Stufe sind, so erkennt man, dass die Potenzgesetze die Grundrechenarten um eine Stufe degradieren!
Da Plus und Minus die unterste Stufe der Grundrechenarten bilden, kann man sie nicht degradieren, ergo kann man hier nichts zusammenfassen.
Degradiert man die Multiplikation um eine Stufe, erhält man die Addition - Potenzen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
Degradiert man die Division um eine Stufe erhält man die Subtraktion - Potenzen werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
Dieser Zusammenhang gilt für alle Potenzgesetze - hat man das verstanden, kann man sich so also alle Gesetze gleichzeitig merken!
Dann zu den Grundrechenarten der dritten Stufe: Potenzieren und Wurzelziehen.
Nach unserem allgemeinen Gesetz sollte man Potenzen potenzieren, indem man die Exponenten multipliziert (degradiert man Potenzieren um eine Stufe erhält man Multiplizieren) - wir schauen mal:
\((x^2)^3\) \(=x^2\cdot{x}^2\cdot{x^2}\) \(=x^{2+2+2}\) \(=x^6\;\;(=x^{2\cdot3})\) | Es klappt! |
Schließlich bleibt noch das Wurzelziehen aus einer Potenz - nach unserer allgemeinen Feststellung sollte eine Wurzel durch die Potenzgesetze zu einer Division führen.
Leider kann man das nicht wie oben ohne weiteres zeigen, denn welchen Zusammenhang zwischen dem Wurzelzeichen und einer Potenz gibt es überhaupt?
Das sehen wir an einem Beispiel:
\((\sqrt{x})^2=x^1\) \(\Rightarrow(x^a)^2=x^1\) \(\Rightarrow{x}^{2\cdot{a}}=x^{1}\) \(\Rightarrow2a=1\) \(\rightarrow{a}=\frac12\) | Quadriert man eine Wurzel, so erhält man wieder den Radikand (die Zahl unter der Wurzel). Zum Beispiel ist \(\sqrt9=3\) und \(3^2\) ist wieder \(9\). |
Wie gesehen läßt sich also die Quadratwurzel als \(x^{\frac12}\) umschreiben. Auf die gleiche Weise ließe sich herleiten, dass z.b. \(\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}\), bzw. dass allgemein \(\sqrt[a]{x}=x^{\frac1a}\).
Da der Bruch \(\frac12\) eine Division durch 2, bzw. allgemein der Bruch \(\frac1a\) eine Division durch \(a\) beschreibt, stimmt auch weiterhin unsere allgemeine Feststellung zu den Potenzgesetzen: Potenzen mit gleicher Basis werden zusammengefasst, indem man die Grundrechenarten um eine Stufe degradiert!
Hier eine Übersicht
Grundoperatoren: Plus und Minus
Kurzschreibweisen 1. Stufe: Mal und Geteilt
Kurzschreibweisen 2. Stufe: Potenz und Wurzel
Plus und Minus können nicht degradiert werden
Aus Mal wird Plus
Aus Geteilt wird Minus
Aus Potenzieren wird Mal
Aus Wurzeln werden Divisionen
Hier noch ein paar Eigenschaften, die man zu Potenzen einfach zusätzlich auswendig kennen sollte:
Negative Exponenten beschreiben Kehrwerte
Brüche im Exponenten beschreiben Wurzeln aus Potenzen
Identische Potenzen können zusammengerechnet werden
Bei Produkten und Divisionen lassen sich Potenzen mit gleichem Exponenten zusammenfassen
Bei Brüchen lassen sich Potenzen aus Zähler und Nenner verschieben, indem man das Vorzeichen des Exponenten wechselt
Beachte aber, dass das nur geht, wenn im Bruch keine Summen oder Differenzen sind!
© Christian Wenning
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