Bei verschachtelten (~verketteten) Funktionen benötigt man zum Ableiten die Kettenregel.
Bei verschachtelten (~verketteten) Funktionen benötigt man zum Ableiten die Kettenregel.
\(f(x)=g(\) \(\small{h(x)}\) \()\)
\(\Rightarrow{f}'(x)=g'(\) \(\small{h(x)}\) \()\cdot{h}'(x)\)
Und was besagt diese Regel?!
Bei der Ableitung verschachtelter Funktionen muss die äußere Funktion \(g(x)\) zwar abgeleitet werden, die innere Funktion \(h(x)\) bleibt jedoch erst erhalten. Danach wird die Ableitung der inneren Funktion dranmultipliziert. Etwas unmathematischer, aber einfacher zu merken ist: "Äußere Ableitung (mit stehen gelassener inneren Funktion) mal innere Ableitung!"
Um die Kettenregel richtig verstehen zu können muss man zwei Dinge begreifen:
1. Wann ist eine Funktion verschachtelt?
2. Was ist die innere, bzw äußere Funktion?
Dazu betrachten wir zwei Beispielfunktionen:
\(f(x)=x^4\) \(\Rightarrow{f}'(x)=4x^3\) | Klar, diese Funktion ist nicht verkettet. Die Ableitung wird schlicht nach Potenzregel gebildet. Falls hier irgendetwas unklar ist, bearbeite unbedingt zuerst das Kapitel >Potenzregel<. |
\(f(x)=(2x+1)^4\) \(\Rightarrow{f}'(x)=4(2x+1)^3\cdot2\) | Hier wurde das \(x\) aus dem ersten Beispiel durch die Funktion \(2x+1\) ersetzt - es liegt also eine Verkettung vor. Nach Kettenregel sollen wir die äußere Funktion ableiten - hoch \(4\) wird zu \(4\cdot(...)^3\) - und das Ergebnis mit der inneren Ableitung multiplizieren (die \(2\) hinten). |
Am besten schauen wir uns einfach weitere Beispiele an, um festzustellen, wann Funktionen verkettet sind und wann nicht.
\(f(x)=x^8\) \(\Rightarrow{f}'(x)=8x^7\) \(g(x)=\sin(x)\) \(\Rightarrow{g}'(x)=\cos(x)\) \(h(x)=e^x\) \(\Rightarrow{h}'(x)=e^x\) \(i(x)=\ln(x)\) \(\Rightarrow{i}'(x)=\frac{1}{x}\) \(j(x)=\sqrt{x}\) \(\Rightarrow{j}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(f(x)=(x^2-1)^8\) \(\Rightarrow{f}'(x)=8(x^2-1)^7\cdot2x\) \(g(x)=\sin(4x-8)\) \(\Rightarrow{g}'(x)=\cos(4x-8)\cdot4\) \(h(x)=e^{x^3+x}\) \(\Rightarrow{h}'(x)=e^{x^3+x}\cdot(3x^2+1)\) \(i(x)=\ln(-x+1)\) \(\Rightarrow{i}'(x)=\frac{1}{-x+1}\cdot(-1)\) \(j(x)=\sqrt{\sin(x)}\) \(\Rightarrow{j}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sin(x)}}\cdot\cos(x)\) |
Zusammenfassend läßt sich festhalten, dass die Kettenregel immer dann benötigt wird, wenn man in einer einfachen Funktion - etwa \(x^2\), \(x^3\), \(x^4\), ..., \(e^x\), \(\sin(x)\) oder \(\ln(x)\) - die Variable, also das \(x\), durch eine zweite Funktion ersetzt, bspw. \(\ln(x^2-4x)\), \(e^{-x}\), usw.
Hat man erkannt, dass es sich um die Kettenregel handelt, so kann man sich folgendes merken: "Die innere Funktion ist immer das, wo die Funktionsvariable \(x\) steht" (und damit ist die Äußere Funktion der Teil ohne \(x\)).
Letzteres wird schnell klar, wenn man sich noch einmal vor Augen führt, wie man eine verkettete Funktion herstellt: Man ersetzt die Variable ja durch eine neue Funktion. Außen kann also kein \(x\) mehr sein!
\(f(x)=(3x^2+5x-1)^5\) \(\Rightarrow{f}'(x)=5(3x^2+5x-1)^4\cdot(6x+5)\) | Das \(x\) kommt in dem Term \(3x^2+5x-1\) vor, dies ist also die innere Funktion und damit ist das "hoch 5" die Äußere. Die Ableitung ergibt sich nach Kettenregel. |
➤ Verkettete Funktionen werden mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.
➤ Sie besagt, dass man die äußere Funktion ableiten soll - wobei hier die innere Funktion erhalten bleibt - und das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert werden muss.
➤ Der Merksatz lautet: Äußere Ableitung mal innere Ableitung!
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?