Stellenwertsysteme

Kapiteleintrag

Bei einem Stellenwertsystem gibt die Position einer Ziffer an, welchen Wert diese Ziffer beschreibt. Beim 10er-System etwa stehen ganz rechts die Einer, daneben die Hunderter, dann die Tausender usw.

Warum ist 108 die Zahl "Ein-Hundert-und-Acht"?

\(108=8\text{ Einer, }0\text{ Zehner, }1\text{ Hunderter}\)

Von rechts nach links beschreiben die Ziffern der Zahl 108, dass man die Summe auch "8 Einern, 0 Zehnern und 1 Hunderter" bilden soll.

Zahlen im Zehnersystem beschreiben also Summen aus 10er-Potenzen: "Einer" lassen sich als \(10^0\) umschreiben, "Zehner" sind \(10^1\), "Hunderter" entsprechen \(10^2\) usw.

Warum ist 108 die Zahl "Ein-Hundert-und-Acht"?

\(108=1\cdot10^2+0\cdot10^1+8\cdot10^0\)

Liest man die Zahl von links nach rechts, beschreibt die erste Ziffer einer dreistelligen Zahl die Anzahl der \(10^2\)er-Potenzen (der Hunderter). Die zweite Zahl gibt an, wie oft man \(10^1\) (Zehner) und die Dritte, wie oft man \(10^0=1\) (Einer) addieren soll.

Um alle Zahlen im Zehnersystem darstellen zu können, benötigen wir neun Ziffern für die Anzahl der verschiedenen Zehnerpotenzen (die Symbole 1-9) und eine Ziffer mit der wir darstellen können, dass eine 10er-Potenz gar nicht vorkommt (die 0).

Egal, wie groß die darzustellende Zahl ist, werden wir auf diese Weise nie weitere Zeichen benötigen - denn immer, wenn wir von einer Zehnerpotenz zehn Stück erreichen, geben wir einfach an, dass wir von der nächstgroßen Zehnerpotenz eine mehr haben.

Zehn Einer?

\(\text{>Zehn<}\cdot10^0=1\cdot10^1+0\cdot10^0=11\)

Mit unseren 10 Zeichen (1-9 und 0) können wir "Zehn Einer" nicht direkt angeben (da wir kein Zeichen für die Anzahl "Zehn" haben).

Wie man sieht, können wir die Zahl aber darstellen, da "Zehn Einer" ja bereits "1 Zehner" sind, wir also wieder unser erstes Zeichen für die Anzahl 1 benutzen können.

Die Römer kannten ein solches System nicht und mussten für große Zahlen immer neue Symbole einführen, etwa \(X\) für "zehn Einer" \(C\) für "zehn Zehner" usw.

Das Zehnersystem

Man kann im Zehnersystem mit den Ziffern 1-9 und 0 alle Zahlen darstellen. Die Position der Ziffer gibt hierbei an, welche Zehnerpotenz beschrieben wird.

Allgemein benötigt man für ein Stellenwertsystem beliebiger Basis immer genau so viele Zeichen wie die Basis gewählt ist. Fürs 10er-System brauchen wir also zehn Zeichen (s.o.), beispielsweise fürs 2er-System nur zwei.

21 im Zweiersystem?

\(21_{(10)}=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1\)

\(=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0\)

\(=10101_{(2)}\)

Um eine Zahl binär, also im Zweiersystem darzustellen, müssen wir herausfinden, aus welchen Zweierpotenzen die Zahl besteht.

Im Zehnersystem beschreibt die Zahl \(21\) ja, dass wir zwei \(10^1\)er-Potenzen und eine \(10^0\)er-Potenz haben - wir müssen das jetzt also für die Potenzen \(2^0\), \(2^1\), \(2^2\) usw. machen.

PS: Um anzugeben, in welchem System man sich gerade befindet, schreibt man an die Zahl die Basis in runden Klammern als Index - bei uns also ist die Zahl \(21_{(10)}\) eine Angabe im Zehner- und die Zahl \(10101_{(2)}\) im Zweiersystem.

Wie man sieht brauchen wir im Zweiersystem nur zwei Zeichen, nämlich die 1 um anzugeben, dass eine bestimmte Zweierpotenz enthalten ist und die 0 falls sie nicht vorkommt. Müssten wir angeben, dass eine Zweierpotenz zweimal vorkommt, erhielten wir bereits eine größere Potenz, etwa bei "zwei \(2^1\)er-Potenzen" "eine \(2^2\)er-Potenz, usw.

Umrechnen in andere Zahlensysteme

Um eine Zahl in ein anderes System umzurechnen, muss man herausfinden, aus wievielen der jeweiligen Potenzen die vorliegende Zahl besteht.

Da das 10er-System unser intuitives System ist, ist es am einfachsten, alle Berechnungen im Zehnersystem nachzuvollziehen. Um hier in ein anderes System umzurechnen, schreibt man sich am besten alle Potenzen der neuen Basis auf (bis man eine Potenz hat, die größer als die vorliegende Zahl ist) und guckt anschließend, wie oft die Potenzen jeweils vorkommen (betrachte dazu auch noch einmal unser Beispiel zum Umrechnen der 21 in das Binärsystem).

Zur Übung hier noch zwei weitere Beispiele:

65 im 3er-System?

3er-Potenzen bis 65:

\(3^0=1\), \(3^1=3\), \(3^2=9\), \(3^3=27\), (\(3^4=81\) zu groß)

Wie oft passt \(3^3=27\) in \(65\)?

\(65=2\cdot27\) Rest \(11\)

Wie oft passt \(3^2=9\) in den Rest \(11\)?

\(11=1\cdot9\) Rest \(2\)

Wie oft passt \(3^1=3\) in den Rest \(2\)?

\(2=0\cdot3^1\) Rest \(2\).

Lösung:

\(65_{(10)}\)

\(=2\cdot27+1\cdot9+0\cdot3+2\cdot1\)

\(=2\cdot3^3+1\cdot3^2+0\cdot3^1+2\cdot3^0\)

\(=2102_{(3)}\)

Wir sollen ins 3er-System umrechnen, schreiben uns also zuerst alle benötigten 3er-Potenzen auf. Mit \(3^4=81\) erkennen wir, dass wir alle in 65 enthaltenen Potenzen gefunden haben.

Nun schauen wir, wie oft die jeweiligen Potenzen enthalten sind. Dazu beginnen wir mit der größten Potenz und gucken, wie oft sie reinpasst.

Mit dem Rest verfahren wir so lange genauso, bis wir alle Potenzen behandelt haben.

Beachte, dass man in einem Stellenwertsystem alle Potenzen angeben muss, man darf also nicht vergessen, \(0\cdot3^1\) anzugeben. Schließlich ist genau wie im Zehnersystem auch im 3er-System \(212_{(3)}\ne2102_{(3)}\).

133 im 12er-System?

12er-Potenzen bis 133:

\(12^0=1\), \(12^1=12\), (\(12^2=144\) zu groß)

Wie oft passt \(12^1=12\) in \(133\)?

\(133=11\cdot12\) Rest \(1\)

Wie oft passt \(12^0=1\) in den Rest \(1\)?

\(1=1\cdot12^0\)

Lösung:

\(133_{(10)}\)

\(=11\cdot12^1+1\cdot12^0\)

\(=B1_{(12)}\)

Hier nun ins Zwölfersystem: Wir verfahren analog und erhalten \(133=11\cdot12^1+1\cdot12^0\).

Da wir für unser Zehnersystem nur 10 Zeichen erfunden haben, müssen wir uns zur Angabe für Zahlen größer als 9 im Zwölfersystem neue Zeichen ausdenken. Wir wählen \(10=A\) und \(11=B\).

Die enthaltenen elf Zwölfer geben wir also mit einem B an entsprechender Stelle an (beachte, dass die uns im Zehnersystem bekannte Zahl \(11\) im Zwölfersystem ja \(1\cdot12^1+1\cdot12^0=13\) bedeutet).

Das Umrechnen von Zahlen aus anderen Systemen in unser Zehnersystem fällt uns deutlich leichter. Dazu müssen wir lediglich herausfinden, welche Zahl im anderen System beschrieben wird und können sie direkt (ohne herausfinden der 10er-Potenzen) angeben.

\(112_{(5)}\) im 10er-System?

\(112_{(5)}=1\cdot5^2+1\cdot5^1+2\cdot5^0\)

\(=25+5+2\)

\(=32_{(10)}\)

Im Fünfersystem beschreiben die einzelnen Ziffern Potenzen von 5.

Wir erhalten also einmal \(5^2\) und einmal \(5^1\) und zweimal \(5^0\), das entspricht der Zahl 32 (drei Zehner und 2 Einer).

Das Umrechnen von Zahlen aus eher unintuitiven Systemen in andere unintuitive Systeme klappt am besten, indem man zuvor ins 10er-System umschreibt.