Grenzwertverhalten

Bei unserer Funktion \(f(x)=\frac15x^3\) kommen immer größere (positive) y-Werte heraus, je größer positiv das eingesetzte \(x\) ist, analog erhält man immer größere negative Werte, je größer der Wert der eingesetzten negativen Zahl ist.

Daraus ergeben sich die angegebenen Grenzwerte (lies: Limes x gegen unendlich f(x) gleich unendlich). Im Bild sind die Grenzwerte durch die Pfeile eingezeichnet:

Für den Grenzwert \(x\to\infty\) überlegt man sich, was passiert, wenn man eine große positive Zahl einsetzt: Hier müssen wir diese große Zahl quadrieren (sie wird noch größer positiv) und anschließend noch \(4\) addieren (das ändert an der großen positiven Zahl fast nichts). Insgesamt wird \(f(x)\) also immer größer (positiv), je größer (positiv) das eingesetzte \(x\) ist.

Analog überlegen wir uns, was passiert, wenn wir eine große, negative Zahl einsetzen: Quadriert man diese, so ist sie wieder positiv (und ziemlich groß) und die addierte \(4\) ändert wieder fast nichts: Bspw. ist \((-1000)^2+4=1.000.000+4=1.000.004\).

Für \(x\to-\infty\) strebt \(f\) also auch gegen \(+\infty\).

Setzen wir wieder eine große, positive Zahl ein: Diese Zahl hoch \(4\) ist nur noch größer positiv. Hinten müssen wir die große Zahl verfünffachen, sie wird auch dort größer positiv. Anschließend werden beide Ergebnisse addiert, wir erhalten eine riesengroße, positive Zahl. Das Ergebnis ist entsprechend \(+\infty\).

Eine große, negative Zahl hoch \(4\) ist wieder positiv (alle Zahlen hoch einen geraden Exponenten sind wieder positiv: Es lösen sich ja immer jeweils zwei Minuszeichen auf), wir erhalten vorne also \(\infty\). Hinten wird die große, negative Zahl verfünffacht, sie bleibt also negativ. Jetzt muss \(\infty-\infty\) berechnet werden, ein unberechenbarer Ausdruck!

... und stellen fest, dass das vordere Unendlich viel größer ist, als das Hintere (eine Billionen ist größer als Fünftausend, siehe vorletzte Zeile). Demnach erhalten wir nach dem Subtrahieren immernoch eine sehr große Zahl (\(999.999.995.000\)). \(\infty-\infty\) ist hier also \(+\infty\).

Nach gerade gelerntem Satz betrachten wir also nur die \(-2x^3\), denn der komplette Rest hat weniger Gewicht und kann ignoriert werden (veranschauliche dir nochmal unsere per-Hand-Rechnung des letzten Beispiels. Die \(x^4\) wurden so riesig (eine Billion), dass man die \(5x\) hinten (Fünftausend) getrost ignorieren durfte).

Okay, für \(x\to\infty\) strebt \(-2x^3\) gegen \(-\infty\) \((\infty^3=\infty\), das mal \(-2\) ist \(-\infty)\) und für \(x\to-\infty\) geht's wieder gegen \(+\infty\), denn \((-\infty)^3=-\infty\), das mal \(-2\) ist wieder positiv.

Wir berechnen \(-\infty\cdot{e}^{\infty}\) wieder im Kopf: \(e^{\infty}=e\cdot{e}\cdot{e}\cdot...\cdot{e}=\infty\) (da \(e\approx2{,}718\), bedeutet \(e^{\infty}\) ja soviel wie \(2{,}718\cdot2{,}7128\cdot2{,}718\cdot...\cdot2{,}718\) - das ergibt also eine große positive Zahl). Diese mal minus Unendlich und wir erhalten das Ergebnis \(-\infty\).

Analog versuchen wir die vorletzte Zeile im Kopf zu lösen: Vorne wird \(-(-\infty)\) positiv, hinten ergibt \(e^{-\infty}\) Null, denn ein negativer Exponent bedeutet nach Potenzgesetzen, dass man den Kehrwert potenzieren soll, also \(e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}\). Der Nenner strebt nun gegen Unendlich (s.o.) und wir erhalten \(\frac{1}{\infty}\). Schließlich strebt ein Bruch, dessen Nenner immer größer wird gegen Null: \(\frac{1}{10}=0{,}1\); \(\frac{1}{100}=0{,}01\); \(\frac{1}{1000}=0{,}001\); ...

Wir erhalten also \(\infty\cdot0\), ein ähnliches Problem, wie \(\infty-\infty\)!

Wir sehen, dass die e-Funktion viel schneller gegen Null strebt, als das einfache \(x\) vorne gegen Unendlich strebt. Worum es hier geht ist klar, oder? Die Null ist gewichtiger, das Ergebnis des Produkts \(\infty\cdot0\) somit \(0\).

Betrachten wir den Grenzwert \(x\to\infty\): Die e-Funktion geht gegen \(\infty\), klar. In der Klammer haben wir eine ganzrationale Funktion, wir betrachten also nur das \(x\) mit höchstem Exponenten, also \(x^2\). Dieses geht für \(x\to\infty\) gegen \(\infty\), wir erhalten insgesamt also eine Ausdruck der Form \(\infty-\infty\). Hier entscheidet das Gewicht, und da die e-Funktion gewichtiger ist, erhalten wir \((+)\) \(\infty\).

Dann zu \(x\to-\infty\): Die e-Funktion strebt gegen Null, denn \(e^{-\infty}\to0\). In der Klammer wird wieder nur \(x^2\) betrachtet, bzw \((-\infty)^2\). Dieses wird dank des geraden Exponenten wieder zu \(+\infty\), wir erhalten insgesamt also \(0-\infty\). Ohne auf ein Gewicht zu achten erhalten wir hier \(-\infty\).

Zuerst zu \(\lim\limits_{x\to\infty}\): Da Zähler und Nenner jeweils ganzrational sind, betrachten wir jeweils nur das \(x\) mit höchstem Exponenten: Im Zähler erhalten wir \(\infty^4=\infty\), im Nenner ist \(\infty^3=\infty\). Da der Zähler gewichtiger ist (hoch 4 ist gewichtiger als hoch 3), erhalten wir insgesamt \(\infty\).

Weiter zu \(x\to-\infty\): Da das Prinzip klar ist: Der Zähler strebt gegen \(\infty\), der Nenner gegen \(-\infty\) - letzteres, da \((-\infty)^3=-\infty\). Mit dem gewichtigeren Zähler erhalten wir den Wert \(\infty\), allerdings müssen wir hier \(\frac{+\infty}{-\infty}\) berechnen, das Ergebnis ist also negativ!

Betrachtet man bei dieser Funktion den Nenner, so strebt \(e^{x^2-1}\) beidseitig gegen \(\infty\) (das \(x^2\) führt stets zu einem positiven Exponenten und \(e^{\infty}\) strebt dann gegen \(\infty\)). Da die gewichtige e-Funktion im Nenner also stets gegen Unendlich strebt, nähert sich die Funktion insgesamt immer der Null an!

Abschließend noch ein vermeintlich komplizierteres Beispiel: Bei \(x\to\infty\) erhalten wir im Zähler \(e^{\infty}-e^{-\infty}\), das strebt gegen \(\infty-0\), also gegen Unendlich. Der Nenner ist natürlich direkt \(\infty\) und mit der e-Funktion oben erhalten wir insgesamt \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\).

Für \(x\to-\infty\) erhalten wir im Zähler \(e^{-\infty}-e^{-(-\infty)}\), was gegen \(0-\infty\), also gegen minus Unendlich strebt. Der Nenner ist klar, insgesamt erhalten wir \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\frac{-\infty}{-\infty}=\infty\).