Wir werden hier eine realitätsbezogene Funktionenschar untersuchen. Wir möchten verstehen, wie man die Probleme und Fragen zur Realität auf die (aus der normalen Kurvendiskussion) bekannten Eigenschaften einer Funktion überträgt.
Wir werden hier eine realitätsbezogene Funktionenschar untersuchen. Wir möchten verstehen, wie man die Probleme und Fragen zur Realität auf die (aus der normalen Kurvendiskussion) bekannten Eigenschaften einer Funktion überträgt.
\(f_k(x)=-\frac16kx^3+2kx^2-6kx+\frac{16}3;\text{ }k\ge0\) Die Schar beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit einer Virenpopulation in Abhängigkeit der Zeit und dem jeweils eingesetzten Antiserum (\(k\) - \(x\) in Stunden nach Zugabe des Serums, \(f(x)\) in Mio. Viren pro Stunde. Hierbei beschreibt \(f_0\) das Wachstum der Viren ohne Verwendung eines Serums. Es werden die ersten sechs Stunden betrachtet (\(0\ge{x}\ge6\)). a) Begründen Sie kurz, warum \(f_0\) das Wachstum ohne Serum beschreibt und bestimmen Sie die Anzahl der unter diesen Bedingungen neu hinzugekommenen Viren innerhalb der ersten sechs Stunden. b) Beweisen Sie, dass alle Antiseren lediglich sechs Stunden wirken. c) Begründen Sie ohne Rechnung, warum das zu \(k=1\) gehörige Serum keinen Rückgang der Population verursacht und geben Sie eine Bedingung für \(k\) an, unter der das eingesetzte Serum zu einem Rückgang der Population führt. d) Das Wachstum wievieler Viren wird durch das zu \(k=1\) gehörende Serum innerhalb der ersten sechs Stunden verhindert? e) Unter Verwendung eines zweiten Serums kommen in den ersten sechs Beobachtungsstunden 11,75 Mio. neue Viren hinzu. Bestimmen Sie den zu diesem Serum gehörigen Scharparameter. |
Los geht′s...
\(f_0(x)=-\frac16\cdot0\cdot{x}^3+2\cdot0\cdot{x}^2-6\cdot0\cdot{x}+\frac{16}3=\frac{16}3\) \(\Rightarrow{f}_0\text{ ist konstant}\) \(A=a\cdot{b}\) \(\Rightarrow{A}=6\cdot\frac{16}3=32\) \(\Rightarrow32\text{ Mio. Viren}\) | Da die Funktion \(f_0\) konstant ist, ändert sich die Wachstumsgeschwindigkeit der Viren nicht. Es wurde also kein Serum eingesetzt. Wenn pro Stunde konstant \(\frac{16}3\) Mio. Viren hinzukommen, dann sind das in sechs Stunden \(\frac{16}3\cdot6=32\) Millionen Stück. Im KOS können wir das auch als Fläche unter \(f_0\) auffassen, denn diese geben bei (Wachstums-)Geschwindigkeitsfunktionen den Bestand an. |
\(f_k(6)=-\frac16k\cdot{6}^3+2k\cdot{6}^2-6k\cdot{6}+\frac{16}3=\frac{16}3\) \(\Rightarrow{P}(6|\frac{16}3)\) | Wenn die Seren lediglich sechs Stunden wirken, muss zu dieser Zeit die alte Wachstumsgeschwindigkeit wiederhergestellt sein. Damit das für alle Funktionen der Schar gilt, muss bei \(x=6\) unabhängig von \(k\) stets \(\frac{16}3\) herauskommen. Das tut es! |
\(f_k(x)=-\frac16kx^3+2kx^2-6kx+\frac{16}3\) \(\Rightarrow{f_k'(x)}=-\frac12kx^2+4kx-6k\) \(\Rightarrow{f_k''(x)}=-kx+4k\) Notw. Bed. (EST) \(f_k'(x)=0\) \(-\frac12kx^2+4kx-6k=0\) \(x^2-8x+12=0\) \(x_{1|2}=4\pm\sqrt{4^2-12}\) \(x=2\vee{x}=6\) Hinr. Bed. (EST) \(f_k''(2)=-k\cdot2+4k=2k\gt0\text{ für }k\gt0\Rightarrow{TP}\) y-Wert \(f_k(2)=-\frac16k\cdot2^3+2k\cdot2^2-6k\cdot2+\frac{16}3\) \(=-\frac{16}3k+\frac{16}3\Rightarrow{TP}(2|-\frac{16}3k+\frac{16}3)\) Rückgang? \(-\frac{16}3k+\frac{16}3\lt0\) \(\Leftrightarrow{k}\gt1\) | Wie man am Graphen von \(f_1\) sehen kann, ist die Funktion im betrachteten Intervall nie negativ. Damit die Anzahl der Viren allerdings weniger werden, müsste die Wachstumsgeschwindigkeit (also \(f_1\)) negativ sein. Beachte dazu, dass die Population nicht zurückgeht, wenn \(f_1\) fällt. Dann wächst sie lediglich nicht mehr so schnell (aber sie tut es immer noch). Wie in der Skizze zu sehen, erreichen wir genau dann negative Geschwindigkeiten, wenn der Tiefpunkt negativ ist. Dazu (bestimmen wir ihn wie üblich) setzen wir die y-Koordinate kleiner Null. Insgesamt erzeugen alle Antiseren mit \(k\gt1\) einen Rückgang der tatsächlichen Population. |
\(f_1(x)=-\frac16x^3+2x^2-6x+\frac{16}3\) \(\Rightarrow{F}_1(x)=-\frac1{24}x^4+\frac23x^3-3x^2+\frac{16}3x\) Berechnung der Fläche \(\int_0^6f_2(x)dx=F_2(6)-F_2(0)\) \(=-\frac1{24}\cdot6^4+\frac23\cdot6^3-3\cdot6^2+\frac{16}3\cdot6-(0)\) \(=14\text{ (Mio)}\) \(32-14=18\) | Da die Schar selbst die Wachstumsgeschwindigkeit angibt, wird der Bestand per Integral bestimmt, wir integrieren also über den gesamten Versuchszeitraum. Nun wissen wir aus Aufgabe a) bereits, dass ohne Serum 32 Mio. Viren hinzukommen - mit Serum nun nurnoch 14 Mio. Dementsprechend werden 18Mio. Viren getötet. Alternativ hätte man übrigens auch die Fläche zwischen \(f_0\) und \(f_1\) berechnen können, denn diese gibt direkt die gesuchte Lösung an. |
\(f_k(x)=-\frac16kx^3+2kx^2-6kx+\frac{16}3\) \(\Rightarrow{F}_k(x)=-\frac1{24}kx^4+\frac23kx^3-3kx^2+\frac{16}3x\) Berechnung der Fläche \(\int_0^6f_k(x)dx=F_k(6)-F_k(0)\) \(=-\frac1{24}k\cdot6^4+\frac23k\cdot6^3-3k\cdot6^2+\frac{16}3\cdot6-(0)\) \(=-18k+32\) \(-18k+32=11,75\) \(\Leftrightarrow{k}=\frac98\) | Die Anzahl der neu hinzugekommenen Viren ist (weiterhin) die Fläche unter \(f_k\) in besagtem Intervall. Da wir den Scharparameter noch nicht kennen, integrieren wir zuerst die Schar und setzen das Ergebnis gleich den geforderten 11,75 (Mio) Viren. Das zum Scharparameter \(k=\frac98\) gehörige Antiserum läßt das Wachstum von 11,75 Mio Viren zu. |
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?