Scharableitung

Kapiteleintrag

Um eine Funktionenschar richtig ableiten zu können, muss man erkennen, was die Funktionsvariable ist - nach welcher Variable also abgeleitet werden soll. Natürlich ist das fast immer \(x\), theoretisch kann man sie aber beliebig wählen. Du erkennst die Variable stets am Funktionsnamen vorne, also an \(f(x)\). Denn hier steht in der Klammer immer die Funktionsvariable. Dementsprechend muss \(f(t)\) bspw. nach \(t\) abgeleitet werden.

Merksatz | Scharableitung

Beim Ableiten einer Schar werden die Parameter (~alle von der Funktionsvariablen verschiedenen Buchstaben) wie Zahlen behandelt!

1. Beispiel

\(f_k(x)=2x^3+kx\)

\(\Rightarrow{f}_k'(x)=6x^2+k\)

\(\Rightarrow{f}_k''(x)=12x\)

Die Funktionsvariable ist \(x\), wir leiten also nach \(x\) ab. Demnach erhalten wir vorne \(6x^2\), klar.

Die Ableitung von \(kx\) ist \(k\), dann lineare \(x\) fallen beim Ableiten weg (die Ableitung von z.B. \(8x\) ist ja auch \(8\)).

Bei der zweiten Ableitung wird \(6x^2\) zur \(12x\) und das \(k\) fällt weg (es enthält kein \(x\) und ist damit konstant - auch die Zahl \(8\) würde jetzt wegfallen).

2. Beispiel

\(f_k(x)=kx^2+4k^2x-k^3\)

\(\Rightarrow{f}_k'(x)=2kx+4k^2\)

Wieder leiten wir nach \(x\) ab. Vorne ist die Ableitung von \(x^2\) also \(2x\), wobei wir die \(2\) noch vor das \(k\) schreiben, das ja als konstanter Faktor stehen bleibt.

In der Mitte fällt das lineare \(x\) weg, es bleibt also \(-4k^2\) übrig. Insbesondere wird das nicht zu \(-8k\) abgeleitet - wir dürfen nur nach \(x\) ableiten!

Hinten fällt dann \(-k^3\) komplett weg, denn es enthält kein \(x\) (die Ableitung von z.B. \(-2^3\), also von \(-8\) ist ja auch 0).

3. Beispiel

\(f_{a,b,c}(x)=\frac{a^b}{2c-b}\cdot{2}^{a-c}+a^{b-c^2}\)

\(\Rightarrow{f}'_{a,b,c}(x)=0\)

Da \(x\) die Funktionsvariable ist, und das in der Funktionsvorschrift nicht vorkommt, ist die Funktionenschar konstant - die Ableitung also \(0\). Nimmt man z.B. die Schar \(f_{1,1,1}\), also die Schar für die \(a=1\), \(b=1\) und \(c=1\) ist, so erhält man: \(f(x)=\frac{1^1}{2\cdot1-1}\cdot{2}^{1-1}+1^{1-1^2}=1+1=2\). Die Ableitung von \(f(x)=2\) ist natürlich \(f'(x)=0\).

Und ja, ich gebe zu, teilweise dient das Beispiel nur der Verwirrung! ;)

Bevor wir jetzt zu einer e-Funktionenschar kommen, kurz der wichtige Hinweis, dass die Zahl \(e\approx2{,}718..\) kein Scharparameter ist! Möchte man den Buchstaben \(e\) unbedingt als Scharparameter benutzen (wovon ich dringenst abrate), dann muss man ihn auch vorne an die Funktion schreiben, etwa \(f_e(x)=ex^2\). Die normale e-Funktion \(f(x)=e^x\) jedenfalls ist keine Schar!

4. Beispiel

\(f_t(x)=tx^2\cdot{e}^{tx+1}\)

\(\Rightarrow{f}_t'(x)=2tx\cdot{e}^{tx+1}+tx^2\cdot{e}^{tx+1}\cdot{t}\)

\(\Leftrightarrow{f}_t'(x)=e^{tx+1}\cdot(2tx+tx^2\cdot{t})\)

\(\Leftrightarrow{f}_t'(x)=e^{tx+1}\cdot(t^2x^2+2tx)\)

Wir leiten nach Produktregel ab, es ist \(u=tx^2\), also \(u'=2tx\). Weiter ist \(v=e^{tx+1}\), was wir nach Kettenregel zu \(v'=e^{tx+1}\cdot{t}\) ableiten.

Jetzt alles in die Produktregel und wie gewohnt durch Ausklammern der e-Funktion zusammenfassen.