Wir werden hier eine realitätsbezogene, ganzrationale Kurvendiskussion durchführen. Wir möchten verstehen, wie man die Probleme und Fragen zur Realität auf die (aus der normalen Kurvendiskussion) bekannten Eigenschaften einer Funktion überträgt.
Wir werden hier eine realitätsbezogene, ganzrationale Kurvendiskussion durchführen. Wir möchten verstehen, wie man die Probleme und Fragen zur Realität auf die (aus der normalen Kurvendiskussion) bekannten Eigenschaften einer Funktion überträgt.
In der niederländischen Stadt Noordwijk (am See) gibt es direkt an der Nordsee den Wilhelmina-Boulevard, eine auch über Hollands Grenzen hinaus bekannte Touristenattraktion. Im Januar 2012 allerdings wurde der beliebte Boulevard von einem fast zehn Tage andauernden Jahrhundert-Hochwasser zu etwa 75% zerstört. Daraufhin versprach der Stadtrat den Noordwijkern einen Deich, der künftig alle Hochwasser vom Glanzstück der Stadt fernhalten soll. Wir betrachten den eingereichten Vorschlag der Firma D.A.M.M., denn der Stadtrat hat uns damit beauftragt, die unten angehängten Eigenschaften zu überprüfen. \(f(x)=-\frac{1}{50}x^3+\frac3{10}x^2\) a) Ist der Deich auf Erdbodenhöhe die geforderten 15 Meter breit? b) Wie hoch wird der Deich der Firma D.A.M.M.? c) Die Deichseite, die in Richtung Nordsee zeigt (die das Wasser abhalten soll), darf nicht steiler als \(60^{\circ}\) sein, ist das erfüllt? Um den Anstiegswinkel \(\alpha\) zu berechnen, benutzen Sie die Formel \(\alpha=\tan^{-1}(m)\). d) Der Deich soll über eine Länge von \(2km\) gebaut werden. Berechne die Kosten für das zum Aufschütten des Deiches benötigte Erdreich (es wird ab dem Erdboden aufgeschüttet; Kosten Erde: \(1,25\frac{€}{m^3}\)). e) Als Alternative hat die Firma D.A.M.M. geplant, die rechte Deichseite (in Richtung Blvd.) direkt am Hochpunkt (\(H(10|10)\)) linear abfallen zu lassen. Geben Sie eine Geradengleichung an, die die neue Deichseite (für \(x\ge10\)) beschreibt, wenn der Deich weiterhin fünfzehn Meter breit bleiben soll. f) Überprüfen Sie abschließend, ob der neue Deich das Jahrhundert-Hochwasser vom Januar hätte abhalten können. Die Höhe des Meeresspiegels während des zehntägigen Hochwassers wird durch die Funktion \(w(x)=-\frac1{10}(\frac38x^4-8x^3+57x^2-144x+20)\) bestimmt, wobei \(x\) in Tagen nach dem 13.01.12 und \(f(x)\) in Meter über NN aufzufassen sind. Die etwas zusammengefasste Ableitung \(w'(x)=-\frac3{20}(x^2-8x+12)(x-8)\) darf ohne eigene Herleitung benutzt werden. |
Dann wollen wir mal überprüfen...
\(f(x)=-\frac{1}{50}x^3+\frac3{10}x^2\) \(-\frac{1}{50}x^3+\frac3{10}x^2=0\) \(\Leftrightarrow{x^2}\cdot(-\frac{1}{50}x+\frac3{10})=0\) \(\Rightarrow{x}^2=0\vee-\frac{1}{50}x+\frac3{10}=0\) \(\Rightarrow{x}=0\vee-\frac{1}{50}x=-\frac3{10}\) \(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=15\) | Um angeben zu können, wie breit der Deich auf Erdbodenhöhe ist, benötigen wir die Nullstellen - wir setzen die Funktion also gleich Null. Mit den Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=15\) ist der Deich auf Erdbodenhöhe also die geforderten fünfzehn Meter breit. |
\(f(x)=-\frac{1}{50}x^3+\frac3{10}x^2\) \(\Rightarrow{f}'(x)=-\frac3{50}x^2+\frac35x\) \(\Rightarrow{f}''(x)=-\frac3{25}x+\frac35\) EST: \(f'(x)=0\) (Not.B.) \(\Rightarrow-\frac3{50}x^2+\frac35x=0\) \(\Leftrightarrow{x}\cdot(-\frac3{50}x+\frac35)=0\) \(\Rightarrow{x}=0\vee-\frac3{50}x+\frac35=0\) \(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=10\) Maximum \(f''(x_e)\lt0\) (Hin.B.) \(f''(10)=-\frac3{25}\cdot10+\frac35=-\frac35\lt0\Rightarrow{HP}\) y-Wert \(f(10)=-\frac1{50}\cdot10^3+\frac3{10}\cdot10^2=10\Rightarrow{HP(10|10)}\) | Um festzustellen, wie hoch der Deich (maximal) wird, bestimmen wir die Extremstellen, bzw. den Hochpunkt. Mit den üblichen Bedingungen erhalten wir das Extremum \(H(10|10)\) (die Extremstelle bei \(x=0\) überprüfen wir erst gar nicht, die Skizze zeigt den HP bei \(x=10\)). Der Deich wird also genau zehn Meter hoch. |
\({f}''(x)=-\frac3{25}x+\frac35\) WST: \(f''(x)=0\) (Not.B.) \(\Rightarrow-\frac3{25}x+\frac35=0\) \(\Leftrightarrow{x}=5\) \(\Rightarrow{x}=5\text{ ist WP}\) \(f'(5)=-\frac3{50}\cdot5^2+\frac35\cdot5\) \(=\frac32\) \(\Rightarrow\alpha=\tan^{-1}(\frac32)\approx56,31^{\circ}\) | In Wendepunkten ist die Steigung extrem! Wir bestimmen also die Steigung im Wendepunkt und testen, ob die Funktion selbst dort nicht steiler als \(60^{\circ}\) ist (Die Steigung wird von \(f'\), also der ersten Ableitung, berechnet - demnach setzen wir hier die Wendestelle ein). Der Anstiegswinkel im Wendepunkt beträgt etwa \(56^{\circ}\), die linke Deichseite kann also gebaut werden. Übrigens haben wir die Wendestelle nicht bewiesen - zum einen können wir ihn mit der Skizze überprüfen, zum anderen ist die dritte Ableitung konstant (also immer ungleich Null). |
\(f(x)=-\frac{1}{50}x^3+\frac3{10}x^2\) \(\Rightarrow{F}(x)=-\frac1{200}x^4+\frac1{10}x^3\) \(\int_0^{15}f(x)dx=F(15)-F(0)\) \(=-\frac1{200}\cdot15^4+\frac1{10}\cdot15^3-(0)\) \(=84,375\) \(\Rightarrow{V}=G\cdot{h}=84,375\cdot2000=168.750m^3\) \(\Rightarrow{K}=168.750\cdot1,25=210.937,50€\) | Um die Kosten berechnen zu können, benötigen wir das Volumen des Deiches (wieviele \(m^3\) Erde werden benötigt?). Das Volumen eines geraden Körpers wird durch die Formel \(V=G\cdot{h}\) bestimmt, wobei die Grundfläche der in der Skizze zu sehende Querschnitt des Deiches ist (stelle dir dazu vor, der Deich würde auf dieser Fläche stehen und zylinderähnlich 2km (senkrecht) nach oben ragen). Die Querschnittsfläche berechnen wir mit Hilfe des Integrals - es ist die Fläche unter \(f\) zwischen \(x=0\) und \(x=15\). |
\(H(10|10)\) \(N(15|0)\) \(y=mx+n\) \(m=\frac{0-10}{15-10}=-2\) \(\Rightarrow{y}=-2x+n\) \(0=-2\cdot15+n\Leftrightarrow{n}=30\) \(\Rightarrow{g}(x)=-2x+30\) | Prinzipiell wird hier eine lineare Funktion gesucht, wobei zwei Punkte bekannt sind (HP und NST). Wir können die Steigung also mit Hilfe des Differenzquotienten berechnen (Steigung zwischen zwei Punkten), in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und anschließend \(n\) bestimmen (durch Einsetzen von \(H\) oder \(N\)). | |
\(w(x)=-\frac1{10}(\frac38x^4-8x^3+57x^2-144x+20)\) \({w}'(x)=-\frac3{20}(x^2-8x+12)(x-8)\) EST: \(w'(x)=0\) (Not.B.) \(\Rightarrow-\frac3{20}(x^2-8x+12)(x-8)=0\) \(\Rightarrow(x^2-8x+12)=0\vee{x}-8=0\) \(\Leftrightarrow{x}_{1|2}=\frac82\pm\sqrt{4^2-12}\vee{x}=8\) \(\Leftrightarrow{x}=2\vee{x}=6\vee{x}=8\) \(\Rightarrow{HP}\text{ bei }x=2 \text{ und }x=8\) y-Werte \(w(2)=9,8\Rightarrow{HP_1(2|9,8)}\) \(w(8)=4,4\Rightarrow{HP_2(8|4,4)}\) \(\Rightarrow\) Der zehn Meter hohe Deich reicht aus | Um feststellen zu können, ob der zehn Meter hohe Deich das Jahrhundert-Hochwasser abgehalten hätte, müssen wir wissen, wie weit die Nordsee im Januar (maximal) über NN trat - dazu benötigen wir die Extremstellen. Dank der bereits teilweise faktorisierten Ableitung können wir die einzelnen Faktoren gleich Null setzen und erhalten schnell die Extremstellenkandidaten. Um uns eine Überprüfung zu ersparen (dann müssten wir die dritte Ableitung bilden, siehe hinr. Bed.), argumentieren wir über die Grenzwerte: Die Hochpunkte müssen außen sein. Nun müssen wir noch berechnen, wie hoch das Wasser jeweils stand (y-Werte) und mit 9,80 Metern Maximalhöhe am 15.01.12 hätte der zehn Meter hohe Deich gereicht. |
© Christian Wenning
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