Analog zur Produktregel läßt sich auch eine Regel zum Ableiten von Quotienten (Brüchen) finden und genau wie bei der Produktregel müssen \(u\), \(v\), \(u'\) und \(v'\) stur eingesetzt werden.
Analog zur Produktregel läßt sich auch eine Regel zum Ableiten von Quotienten (Brüchen) finden und genau wie bei der Produktregel müssen \(u\), \(v\), \(u'\) und \(v'\) stur eingesetzt werden.
Seien \(u\) und \(v\) Funktionen
\(f(x)=\frac{u}{v}\)
\(\Rightarrow{f}'(x)=\frac{u'\cdot{v}-u\cdot{v}'}{v^2}\)
\(f(x)=\frac{x^2}{2x+1}\) \(\Rightarrow{f}'(x)=\frac{2x\cdot(2x+1)-x^2\cdot2}{(2x+1)^2}\) \(\Leftrightarrow{f}'(x)=\frac{2x^2+2x}{(2x+1)^2}\) | Hier ist \(u=x^2\) und \(v=2x+1\), also ist \(u'=2x\) und \(v'=2\). Nach dem Einsetzen kann man bei gebrochenrationalen Funktionen den Zähler meist zusammenfassen; der Nenner wird allerdings nicht umgeformt! (weiter unten folgt dazu eine Begründung). |
Wie gesehen, können wir mit der Quotientenregel also alle gebrochenrationalen Funktionen ableiten. Sie funktioniert aber sogar bei allen Brüchen!
\(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\) \(\Rightarrow{f}'(x)=\frac{\cos(x)\cdot{x}-\sin(x)\cdot1}{x^2}\) | Hier ist \(u=\sin(x)\) und damit \(u'=\cos(x)\), sowie \(v=x\), also \(v'=1\). Nach dem Einsetzen läßt sich hier nichts zusammenfassen (allerdings läßt man die \(\cdot1\) hinten natürlich weg). |
\(f\;\;(x)=\frac{x^3}{e^x}\) \(\Rightarrow{f}'(x)=\frac{3x^2e^x-x^3e^x}{(e^x)^2}\) \(\Leftrightarrow{f}'(x)=\frac{3x^2-x^3}{e^x}\) | Klar, \(u=x^3\), \(v=e^x\). Demnach ist \(u'=3x^2\) und \(v'=e^x\). Da die e-Funktion erhalten bleibt kann man sie nach dem Ableiten kürzen (allerdings dann aus jedem Summanden). |
Wenn der Zähler oder der Nenner kein \(x\) beinhaltet, muss nicht nach Quotientenregel abgeletet werden. Dazu zwei Beispiele:
\(f\;\;(x)=\frac{x^3}{4}=\frac14\cdot{x^3}\) \(\Rightarrow{f}'(x)=\frac14\cdot3x^2=\frac34x^2\) | Da der Nenner kein \(x\) beinhaltet, können wir ihn als Faktor vor die Funktion schreiben. Anschließend wird normal nach Potenzregel abgeleitet. |
\(f\;\;(x)=\frac{4}{x^3}=4\cdot{x^{-3}}\) \(\Rightarrow{f}'(x)=4\cdot(-3)x^{-4}=-12x^{-4}=-\frac{12}{x^4}\) | Wenn nur im Nenner \(x\) vorkommt, können wir ihn mit einem negativen Exponenten umschreiben. Auch hier können wir dann ohne Quotientenregel ableiten. |
➤ Falls die abzuleitende Funktion aus einem Quotienten (Bruch) besteht, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner ein \(x\) vorkommt, so benötigt man die Quotientenregel.
Eine Besonderheit entsteht durch die Quotientenregel bei der zweiten Ableitung. Wir schauen einfach mal rein:
\(f'(x)=\frac{2x^2+2x}{(2x+1)^2}\) \(\Rightarrow{f}''(x)=\frac{(4x+2)\cdot(2x+1)^2-(2x^2+2x)\cdot2(2x+1)^1\cdot2}{(2x+1)^4}\) \(\require{cancel}\Rightarrow{f}''(x)=\frac{(4x+2)\cdot(2x+1)^{\cancel{2}^1}-(2x^2+2x)\cdot2\cancel{(2x+1)}\cdot2}{(2x+1)^{\cancel{4}^3}}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{(4x+2)\cdot(2x+1)-(2x^2+2x)\cdot2\cdot2}{(2x+1)^3}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{8x^2+4x+4x+2-(8x^2+8x)}{(2x+1)^3}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{2}{(2x+1)^3}\) | Betrachten wir also die zweite Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion (die erste Ableitung ist aus dem ersten Teil bekannt). Beachte, dass im Folgenden die Kettenregel vorausgesetzt wird. Bei dieser Funktion ist \(u=2x^2+2x\), also \(u'=4x+2\). Weiter ist \(v=(2x+1)^2\), das wird mit Kettenregel abgeleitet zu \(v'=2(2x+1)^1\cdot2\), wobei die letzte \(2\) hinten die innere Ableitung ist. Im ersten Schritt wird das nun alles in die Quotientenregel eingesetzt. Nun erhalten wir Dank Kettenregel in jedem Summanden des Zählers den Ausdruck \((2x+1)\), nämlich vorne bei \(v=(2x+1)^2\) und hinten bei \(v'=2(2x+1)\cdot2\). Wir können diesen Ausdruck also kürzen: Vorne fällt dann das "hoch 2" weg, hinten der gesamte Ausdruck. Im Nenner erhalten wir \((2x+1)^3\), da wir \((2x+1)\) ja einmal herauskürzen. Anschließend fassen wir wieder normal zusammen. |
Wir halten also fest: Die erste Ableitung wird im Nenner nie ausmultipliziert!
Zwar muss man eine zweite Ableitung dann mit Hilfe der Kettenregel bilden, allerdings kann man sie nur dann kürzen (nachfolgende Variante A). Ungekürzt hingegen wirds schnell sehr unhandlich (Variante B).
Betrachte dazu das jeweilige Endergebnis: Für die Nullstellen müssten wir in Variante A eine (schöne) Gleichung dritten Grades lösen, in Variante B eine (hässliche) Gleichung fünften Grades (da wir hier ja nicht kürzen konnten).
\(f'\;(x)=\frac{x^2-x}{(x^2-1)^2}\) \(\require{cancel}\Rightarrow{f}''(x)=\frac{(2x-1)\cdot(x^2-1)^{\cancel{2}^1}-(x^2-x)2\cancel{(x^2-1)}\cdot2x}{(x^2-1)^{\cancel{4}^3}}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{(2x-1)\cdot(x^2-1)-(x^2-x)2\cdot2x}{(x^2-1)^3}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{2x^3-2x-x^2+1-(4x^3-4x^2)}{(x^2-1)^3}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{-2x^3+3x^2-2x+1}{(x^2-1)^3}\) | In Variante A kürzen wir wieder, hier von der zweiten in die dritte Zeile, nämlich den Term \((x^2-1)\). Wie immer erhalten wir im Nenner dann den Exponenten \(3\), oben müssen wir wieder aus jedem Summanden kürzen (rechts fällt \((x^2-1)\) ganz weg, links bleibt es einmal übrig). |
\(f'\;(x)=\frac{x^2-x}{(x^2-1)^2}\) \(\Leftrightarrow{f}'(x)=\frac{x^2-x}{x^4-2x^2+1}\) \(\Rightarrow{f}''(x)=\frac{(2x-1)(x^4-2x^2+1)-(x^2-x)(4x^3-4x)}{(x^4-2x^2+1)^2}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{2x^5-4x^3+2x-x^4+2x^2-1-(4x^5-4x^3-4x^4+4x^2)}{(x^4-2x^2+1)^2}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{-2x^5+3x^4-2x^2+2x-1}{(x^4-2x^2+1)^2}\) | In der schlechten Variante B multiplizieren wir den Nenner der ersten Ableitung also aus und können bei der zweiten Ableitung nichts mehr kürzen. Uns bleibt hier nichts anderes übrig, als alles auszumultiplizieren - was ein Monster! |
➤ Gebrochenrationale Funktionen werden mit Hilfe der Quotientenregel abgeleitet.
➤ Falls im Zähler oder Nenner kein \(x\) ist, so muss nicht nach Quotientenregel abgeleitet werden.
➤ Das \(v^2\) im Nenner wird nie ausmultipliziert - man erhält bei der ersten Ableitung unten also stets \((alter\) \(Nenner)^2\).
➤ Für die zweite Ableitung benötigt man zwar zusätzlich die Kettenregel, kann dafür aber stets ein Nennerpolynom kürzen. Nach dem Kürzen erhält man also immer \((alter\) \(Nenner)^3\).
© Christian Wenning
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