Sinus- & Kosinussatz

Kapiteleintrag

Sinussätze

\(\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\gamma)}{c}\)

Die Sinussätze gelten in beliebigen Dreiecken.

Herleitung Sinussatz

\(\sin(\alpha)=\frac{h}{b}\)

\(\Leftrightarrow\sin(\alpha)\cdot{b}=h\)

\(\sin(\beta)=\frac{h}{a}\)

\(\Leftrightarrow\sin(\beta)\cdot{a}=h\)

\(\Rightarrow\sin(\alpha)\cdot{b}=\sin(\beta)\cdot{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}\)

Wie im letzten Beispiel im Kapitel Trigonometrie I gesehen, lassen sich bei beliebigen Dreiecken durch Einzeichnen der Höhe rechtwinklige Dreiecke herstellen (in welchen Sinus, Kosinus und Tangens erlaubt sind).

Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse - aus Sicht von \(\alpha\) also \(\frac{h}{b}\), bzw. aus Sicht von \(\beta\) eben \(\frac{h}{a}\). Stellt man beide Gleichungen nach \(h\) um, lassen sich die Terme gleichsetzen und wir erhalten nach einer Umformung den Sinussatz.

Analog ließe sich das Ganze auch für \(\gamma\) herleiten.

Mit Hilfe der Sinussätze lassen sich also auch die Seitenlängen und Winkel von nicht rechtwinkligen Dreiecken berechnen.

1. Beispiel

Winkel \(\alpha\)

\(\frac{\sin(\alpha)}{4,8}=\frac{\sin(44)}{6}\)

\(\Leftrightarrow\sin(\alpha)=\frac{\sin(44)}{6}\cdot4,8\)

\(\Leftrightarrow\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{\sin(44)}{6}\cdot4,8\right)\approx33,76^{\circ}\)

Winkel \(\gamma\)

\(\gamma=180^{\circ}-44^{\circ}-33,76^{\circ}=102,24^{\circ}\)

Seite \(c\)

\(\frac{\sin(102,24)}{c}=\frac{\sin(44)}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{c}{\sin(102,24)}=\frac6{\sin(44)}\)

\(\Leftrightarrow{c}=\frac6{\sin(44)}\cdot{\sin(102,24)}\approx8,44\)

Da sowohl \(\gamma\) als auch \(c\) fehlen, lassen sich diese Größen nicht sofort mit dem Sinussatz berechnen. Wir beginnen also mit \(\alpha\).

Dazu setzen wir die drei bekannten Größen in die Formel ein und lösen nach \(\alpha\) auf - beachte einmal mehr, dass wir einen Winkel suchen, wir also im TR shift+sin drücken müssen.

Mit \(\alpha\approx33,76^{\circ}\) läßt sich nun \(\gamma\) mit Hilfe des Winkelsummensatzes berechnen (alle Winkel zusammen ergeben \(180^{\circ}\)).

Und mit dem nun bekannten Winkel \(\gamma\) können wir weiter die letzte Seite \(c\) mittels Sinussatz bestimmen. Da die gesuchte Größe \(c\) im Nenner ist, drehen wir am besten zuerst beide Brüche um - nun können wir viel einfacher nach \(c\) auflösen.

Ähnlich der Sinussätze lassen sich auch mit Hilfe des Kosinus nützliche Beziehungen für beliebige Dreiecke herleiten - die Kosinussätze.

Kosinussätze

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)\)

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)\)

Die Kosinussätze gelten in beliebigen Dreiecken.

Bevor wir uns auf die Herleitung stürzen, noch schnell ein Merkhinweis: Du musst Dir nur einen der Kosinussätze merken, da die anderen beiden allein durch Austauschen der Buchstaben entstehen. Merken wir uns also beispielsweise nur den dritten Kosinussatz. Hierbei ist \(c^2=a^2+b^2\) ohnehin jedem für rechtwinklige Dreiecke bekannt (Satz des Pythagoras). Du musst Dir also nur merken, dass man bei beliebigen Dreiecken noch etwas abziehen muss, nämlich das doppelte Produkt der beiden Seiten rechts vom Gleich mit dem Kosinus des Winkels der Seite links vom Gleich.

Herleitung Kosinussatz

Gleichung \(I)\)

\(b^2=h^2+p^2\)

\(\Leftrightarrow\color{#FF9900}{h^2=b^2-p^2}\)

Gleichung \(II)\)

\(q=c-p\)

\(\Rightarrow\color{#008FFF}{q^2=(c-p)^2}\)

Gleichung \(III)\)

\(\cos(\alpha)=\frac{p}{b}\)

\(\Leftrightarrow\color{#0CB992}{{p}=\cos(\alpha)\cdot{b}}\)

Herleitung Kosinussatz

\(a^2=\;\;\;\;\color{#FF9900}{h^2}\;\;\;+\;\;\;\;\color{#008FFF}{q^2}\)

\(a^2=\color{#FF9900}{b^2-p^2}+\color{#008FFF}{(c-p)^2}\)

\(\Leftrightarrow{a}^2=b^2-p^2+c^2-2cp+p^2\)

\(\Leftrightarrow{a}^2=b^2+c^2-2c\cdot\color{#0CB992}{p}\)

\(\Leftrightarrow{a}^2=b^2+c^2-2c\cdot\color{#0CB992}{\cos(\alpha)\cdot{b}}\)

\(\Leftrightarrow{a}^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)\)

Betrachten wir vor der eigentlichen Herleitung die drei angegebenen Gleichungen.

Bei I) wurde lediglich der Satz des Pythagoras auf das linke Dreieck angewendet und nach \(h^2\) aufgelöst. II) stimmt, da \(c\) ja gerade aus \(p\) und \(q\) besteht. Da wir es später brauchen, wurde die Gleichung zusätzlich quadriert. Und III) schließlich ist der normale Kosinus, bezogen auf das linke, rechtwinklige Dreieck (Kosinus: Ankathete durch Hyotenuse). Für später lösen wir die Gleichung nach \(p\) auf.

Nun zur eigentlichen Herleitung des Kosinussatzes: Über \(a^2\) wissen wir nach Satz des Pythagoras (im rechten Dreieck), dass es gleich der Summe der quadrierten Katheten ist - also \(a^2=h^2+q^2\). Nun haben wir in I) und II) bereits Ausdrücke für \(h^2\) und \(q^2\), diese setzen wir ein und fassen etwas zusammen. Nun stört lediglich noch das \(p\), ergo setzen wir hierfür den Ausdruck aus III) ein.

Und siehe da: Wir erhalten den Kosinussatz!

Noch ein Hinweis vor dem anschließenden Beispiel: Im Gegensatz zu den Sinussätzen beinhalten die Kosinussätze neben linearen Seitenlängen teilweise auch dessen Quadrate (siehe etwa beim ersten Kosinussatz \(b^2\) und \(c^2\), sowie \(2bc\)). Wolle man mit dessen Hilfe also \(b\) oder \(c\) bestimmen, so müsste man eine Quadratische Gleichung etwa mit pq-Formel lösen, was recht kompliziert - im Mindestens jedoch komplizierter als der Sinussatz daherkommt. Versuche bei Deinen Berechnungen also vorzugsweise die Sinussätze zu benutzen, oder im Zweifelsfall gerade den Kosinussatz, bei dem die gesuchte Variable links vom Gleich steht.

1. Beispiel

Winkel \(\alpha\))

\(\frac{\sin(\alpha)}{4,8}=\frac{\sin(44)}{6}\)

\(\Leftrightarrow\alpha\approx33,76^{\circ}\)

Winkel \(\gamma\))

\(\gamma=180^{\circ}-44^{\circ}-33,76^{\circ}=102,24^{\circ}\)

Seite \(c\))

\(c^2=4,8^2+6^2-2\cdot4,8\cdot6\cdot\cos(102,24)\)

\(\Leftrightarrow{c}=\sqrt{4,8^2+6^2-2\cdot4,8\cdot6\cdot\cos(102,24)}\)

\(\Leftrightarrow{c}\approx8,44\)

Schlechte Alternative (nur mit Kosinussatz)

Seite \(c)\)

\(6^2=4,8^2+c^2-2\cdot4,8\cdot{c}\cdot\cos(44)\)

\(\Leftrightarrow36=23,04+c^2-6,91c\)

\(\Leftrightarrow0=c^2-6,91c-12,96\)

\(\Rightarrow{c}_{1|2}=\frac{6,91}2\pm\sqrt{\left(\frac{6,91}2\right)^2+12,96}\)

\(\Rightarrow{c}_{1|2}=3,453\pm\sqrt{24,882}\)

\(\Rightarrow{c}_{1|2}=3,453\pm4,988\)

\(\Rightarrow{c}_1=8,44\vee{c}_2=-1,535\)

\(\Rightarrow{c}=8,44\)

Winkel \(\alpha\))

\(4,8^2=6^2+8,44^2-2\cdot6\cdot8,44\cdot\cos(\alpha)\)

\(\Leftrightarrow23,04=107,234-101,28\cdot\cos(\alpha)\)

\(\Leftrightarrow-84,194=-101,28\cdot\cos(\alpha)\)

\(\Leftrightarrow0,831=\cos(\alpha)\)

\(\Leftrightarrow{\alpha}=\cos^{-1}(0,831)\approx33,76^{\circ}\)

Winkel \(\gamma\))

\(\gamma=180^{\circ}-44^{\circ}-33,76^{\circ}=102,24^{\circ}\)

Da die Kosinussätze vier Variablen beinhalten (und wir also drei benötigen, um die vierte auszurechnen), ließe sich hier lediglich \(c\) mit Hilfe des zweiten Kosinussatzes ermitteln (denn bei \(b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)\) sind \(a\), \(b\) und der Winkel \(\beta\) bekannt). Da die gesuchte Variable dann allerdings gerade linear und quadratisch vorliegt, sparen wir uns die Quadratische Gleichung und ermitteln zuvor andere Größen mit Hilfe der Sinussätze.

So bestimmen wir zuerst \(\alpha\), siehe zur Rechung das erste Beispiel der Sinussätze. Anschließend ermitteln wir \(\gamma\) mittels Winkelsummensatz.

Da nun \(\gamma\) bekannt ist, können wir \(c\) mit dem dritten Kosinussatz bestimmen, ohne eine schwierige quadratische Gleichung zu erhalten.

Wolle man \(c\) sofort mit Hilfe des Kosinussatzes berechnen, so müsste man den Kosinussatz mit \(\beta\) benutzen - und hier haben wir den Salat: \(c\) kommt sowohl linear, als auch im Quadrat vor - wir müssen die Gleichung mit einem geeigneten Lösungsverfahren auflösen (hier: pq-Formel). Zwar erhalten wir selbstverständlich die selbe Lösung (\(c\approx8,44\)), jedoch ist die Rechnung deutlich komplizierter und sollte vermieden werden!