Die Gleichung

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Schreibt man zwischen zwei Termen ein Gleichheitszeichen "\(=\)", so erhält man eine Gleichung.

Ein paar Gleichungen

1) \(2+3=7\)

2) \(x-1=0\)

3) \(\frac1{a^2+b}=c\)

4) \(e^{i\cdot{\pi}}=-1\)

Es ist egal, wieviele Variablen die Terme rechts und links vom Gleichheitszeichen besitzen - es handelt sich immer um eine Gleichung, sobald ein Gleichheitszeichen vorkommt.

Das erste Beispiel ist also eine Gleichung ohne Variablen, im zweiten gibts eine, im dritten gleich drei und im vierten Beispiel gibt es trotz der Buchstaben wieder nur Zahlen (Pi, e und i sind mathematische Konstanten - die vierte Gleichung ist übrigens ein Spezialfall von "Eulers Identität" und wird von vielen Mathematikern als die schönste Gleichung der gesamten Mathematik angesehen)

Gleichungen die keine Variable beinhalten sind entweder wahr oder falsch. So ist die oberste Gleichung \(2+3=7\) falsch (denn \(2+3=5\)) und die unterste Gleichung wahr (tippt man \(e^{i\cdot{\pi}}\) in den Taschenrechner, so erhält man tatsächlich \(-1\). Solche Gleichungen ohne Variablen sind also nicht sonderlich spannend.

Gleichungen die mehrere Variablen enthalten lassen sich nur durch sogenannte Gleichungssysteme lösen - diese werden an anderer Stelle erklärt und interessieren uns daher hier auch nicht.

So bleiben uns die schönen Gleichungen mit genau einer Variablen - diese möchten wir in diesem Kapitel etwas genauer kennenlernen.

Um die Variable einer Gleichung zu berechnen, formt man die Gleichung soweit um, bis die Variable alleine steht und wir die Lösung ablesen können. Man nennt umgeformte Gleichungen äquivalent und meint damit, dass sie die gleichen Lösungen besitzt. Wir betrachten ein Beispiel:

Zwei äquivalente Gleichungen

\(x+3=10\)

\(\Leftrightarrow{x+4}=11\)

Wenn eine gesuchte Zahl um 3 vergrößert 10 ergibt (\(x+3=10\)), dann ist es auch richtig zu sagen, dass die selbe Zahl um 4 vergrößert 11 ergibt (\(x+4=11\)).

Genauer ist die gesuchte Zahl natürlich \(x=7\) - wenn wir 7 statt um 3 um 4 erhöhen, erhalten wir statt 10 jetzt 11.

Tadaa, wir haben unsere erste Äquivalenzumformung vollbracht! Gekennzeichnet werden diese mit dem Äquivalenzzeichen \(\Leftrightarrow\).

Das Zeichen besteht eigentlich aus zwei Folgepfeilen, nämlich \(\Leftarrow\) und \(\Rightarrow\). Sie bedeuten, dass die Gleichungen sowohl von oben nach unten gelesen, als auch von unten nach oben gelesen die gleichen Lösungen liefern: Aus \(x+3=10\) folgt \(\Rightarrow{x}+4=11\) und aus \(x+4=11\) folgt \(\Rightarrow{x}+3=10\).

Nagut, Erklärungen, die kein Mensch braucht. Merke Dir einfach, dass Du beim Umformen von Gleichungen vorne ein Äquivalenzzeichen schreiben musst. Leider gibt es auch ein paar Ausnahmen, diese werden wir allerdings gleich kennenlernen.

Zuvor aber noch der Hinweis, dass man vor einer Äquivalenzumformung an die Gleichung einen Strich macht, um dahinter zu notieren, was man mit der Gleichung gemacht hat - wie man also umgeformt hat. Bei uns:

1. Äquivalenzumformung

\(x+3=10\;\;|+1\)

\(\Leftrightarrow{x+3+1}=10+1\)

\(\Leftrightarrow{x+4}=11\)

Wir haben in unserem Beispiel auf beiden Seiten der Gleichung 1 addiert und die Lösung somit nicht verändert.

Wie aber finden wir jetzt die Lösung für unsere Variable \(x\)? Die oben gezeigte Äquivalenzumformung hat uns ja nicht wirklich weitergebracht.

Um nach einer Variablen freizustellen, müssen wir alle Berechnungen, die mit der Variablen gemacht werden, wieder rückgängig machen. Da unser \(x\) momentan noch um 3 vergrößert werden soll, subtrahieren wir also auf beiden Seiten 3, und haben die Rechnung somit rückgängig gemacht:

Freistellen nach \(x\)

\(x+3=10\;\;|-3\)

\(\Leftrightarrow{x+3-3}=10-3\)

\(\Leftrightarrow{x}=7\)

Um \(+3\) rückgängig zu machen, subtrahieren wir auf beiden Seiten 3 - wir schreiben also \(|-3\) und formen entsprechend äquivalent um.

Jetzt haben wir die Lösung gefunden, es ist \(x=7\) wie wir oben bereits festgestellt haben.

Beachte noch ein letztes mal, dass das Äquivalenzzeichen in beide Richtungen gilt: Auch aus \(x=7\) folgt (wenn man auf beiden Seiten 3 addiert, dass \(\Rightarrow{x+3}=10\).